Lösung von Aufg. 13.6 (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen
(Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie:<br /> <u>Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz</u><br /> ::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel. [[Category:Einfü…“) |
|||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Beweisen Sie:<br /> | Beweisen Sie:<br /> | ||
<u>Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz</u><br /> | <u>Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz</u><br /> | ||
| − | ::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel. | + | ::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.<br /><br /> |
| + | |||
| + | Also Voraussetzung: Wir haben ein Dreieck.<br /> | ||
| + | Behauptung: Mindestens zwei Innenwinkel sind spitze Winkel, also ihr Maß ist geringer als 90.<br /> | ||
| + | Annahme für Widerspruch: Nein, es gibt auch Dreiecke, in denen zwei Innenwinkel nicht-spitze Winkel sind, also jeweils das Maß 90 oder mehr (bis zu 180) haben.<br /> | ||
| + | I. An einem der beiden stumpfen Innenwinkel, nennen wir ihn Alpha, liegt ein Außenwinkel an, den wir ab jetzt Alpha-Strich nennen (Begründung: Definition Außenwinkel)<br /> | ||
| + | II. Dieser Außenwinkel Alpha-Strich muss ein stumpfer Winkel sein. (Begründung: Schwacher Außenwinkelsatz und Annahme, nach der neben Alpha ja noch ein Innenwinkel nicht-spitz ist).<br /> | ||
| + | III. Alpha und Alpha-Strich sind supplementär, da sie Nebenwinkel sind (Begründung: Definition Außenwinkel, Definition Nebenwinkel und Supplementaxiom)<br /> | ||
| + | IV. Die Größe des Gesamtwinkels, der aus der Addition von Alpha und Alpha-Strich resultiert, ist größer als 180. (Begründung: Rechnen in R, Definition stumpfe Winkel)<br /> | ||
| + | V. Das ist ein Widerspruch zu III (Begründung: Definition supplementär = Summe 180). Es kann also (in unserer Geometrie) keine Dreiecke geben, die zwei nicht-spitze Innenwinkel haben.<br /> | ||
| + | <br /> | ||
| + | Genügt das so? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 12:16, 13. Jul. 2011 (CEST) | ||
[[Category:Einführung_Geometrie]] | [[Category:Einführung_Geometrie]] | ||
Version vom 13. Juli 2011, 11:16 Uhr
Beweisen Sie:
Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz
- In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.
- In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.
Also Voraussetzung: Wir haben ein Dreieck.
Behauptung: Mindestens zwei Innenwinkel sind spitze Winkel, also ihr Maß ist geringer als 90.
Annahme für Widerspruch: Nein, es gibt auch Dreiecke, in denen zwei Innenwinkel nicht-spitze Winkel sind, also jeweils das Maß 90 oder mehr (bis zu 180) haben.
I. An einem der beiden stumpfen Innenwinkel, nennen wir ihn Alpha, liegt ein Außenwinkel an, den wir ab jetzt Alpha-Strich nennen (Begründung: Definition Außenwinkel)
II. Dieser Außenwinkel Alpha-Strich muss ein stumpfer Winkel sein. (Begründung: Schwacher Außenwinkelsatz und Annahme, nach der neben Alpha ja noch ein Innenwinkel nicht-spitz ist).
III. Alpha und Alpha-Strich sind supplementär, da sie Nebenwinkel sind (Begründung: Definition Außenwinkel, Definition Nebenwinkel und Supplementaxiom)
IV. Die Größe des Gesamtwinkels, der aus der Addition von Alpha und Alpha-Strich resultiert, ist größer als 180. (Begründung: Rechnen in R, Definition stumpfe Winkel)
V. Das ist ein Widerspruch zu III (Begründung: Definition supplementär = Summe 180). Es kann also (in unserer Geometrie) keine Dreiecke geben, die zwei nicht-spitze Innenwinkel haben.
Genügt das so? --WikiNutzer 12:16, 13. Jul. 2011 (CEST)
