Lösung von Aufg. 6.6 (WS 11/12): Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 26. November 2011, 11:49 Uhr
Satz:
- Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.
- Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen komplanar und kollinear zu verwenden.
- Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne wenn-dann zu gebrauchen.
- Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:
Beweis
- Es seien
und 
vier Punkte, die nicht komplanar sind.
- Es seien
zu zeigen
- ...
Annahme:
- Es gibt drei Punkte von den vier Punkten
, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...
- Es gibt drei Punkte von den vier Punkten
zu 1. Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann liegen je drei von ihnen nicht auf einer Geraden.
zu 2. Liegen vier Punkte nicht in einer Ebene gilt für drei davon, dass sie nicht auf einer Geraden liegen.
zu 3.
Beweis
Voraussetzung::Es seien und vier Punkte, die nicht komplanar sind.
zu zeigen
- o.B.d.A. : A, B, C nicht kollinear
Annahme:
- Es gibt drei Punkte von den vier Punkten , die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte A,B,C sein.
- Es gibt drei Punkte von den vier Punkten
| Beweisschritt | Begründung |
| (1)koll(A,B,C) | Annahme |
| (2)Es existiert eine Gerdade g mit A,B,C Element g | (1) Defninition koll |
| (3) Zwei Punkte der Geraden und der Punkt D liegen in einer Ebene | Axiom I/4 |
| (4) Die drei Punkte der Geraden gehören ebenfalls zu dieser Ebene | Axiom I/5 |
| (5) komp(A,B,C,D) | (2)(3)(4) |
| Wiederspruch zur Voraussetzung, die Annahme ist zu verwerfen. |
--LGDo12 13:35, 17. Nov. 2011 (CET)
- Wenn man in seinem Beweis eine Fallunterscheidung durchführen muss, kann man dann die Fälle bereits in der Annahme nennen? (beispielsweise:Annahme: Drei Punkte aus A,B,C und D sind kollinear. Fall 1: koll(A,B,C,D), Fall 2: o.B.d.A. koll (A,B,C))
