Verschiebungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

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=== Verschiebungsweite===
 
=== Verschiebungsweite===

Version vom 7. Dezember 2011, 18:17 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)

Die NAF zweier Geradenspiegelungen S_b \circ S_a mit a || b heißt Verschiebung.

Eigenschaften von Verschiebungen

Die identische Abbildung als Verschiebung

Satz: (\operatorname{id} als Verschiebung)

Es sei V=S_b \circ S_a eine Verschiebung.
Wenn a||b dann V=\operatorname{id}.

Beweis (\operatorname{id} als Verschiebung)

Folgt unmittelbar daraus, dass jede Geradenspiegelung selbstinvers ist.



Bringen Sie die beiden Spiegelgeraden miteinander zur Deckung.

Parallelität

Satz: (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei V=S_b \circ S_a eine Verschiebung. Für jede Gerade g und ihr Bild g' bei V gilt: g||g'.

Beweis (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei V=S_ \circ S_a eine Verschiebung (a||b. Ferner sei g eine beliebige Gerade.
zu zeigen: S_b \left( S_a \left(g\right) \right)=g' || g
Fall 1 g \cap a = \{S_1\}
  1. Die Gerade g möge also mit der Spiegelachse a genau den Punkt S_1 gemeinsam haben. Mit \alpha sei der Winkel zwischen den Geraden a und g bezeichnet.
  2. Weil der Punkt S_1 zu a gehört ist er bei S_a ein Fixpunkt.
  3. Weil S_1 der einzige Punkt ist, den g mit a gemeinsam hat, ist S_1 der einzige zu g gehörige Fixpunkt bei S_a
  4. Mit g^* sei das Bild von g bei der Spiegelung an a bezeichnet.
  5. Der Winkel zwischen g^* und a sei mit \alpha^* bezeichnet.
  6. Das Zwischenbild g^* kann nicht parallel zu b sein.
  7. Dementsprechend hat g^* mit b genau einen Punkt gemeinsam. Wir bezeichnen ihn mit S_2.
  8. Der Winkel zwischen g^* und b sei mit \beta bezeichnet.
  9. Als Punkt der Geraden b ist S_2 Fixpunkt bei S_b.
  10. Weil S_2 der einzige Punkt ist, den g^* mit b gemeinsam hat, ist S_2 der einzige zu g^* gehörige Fixpunkt bei S_b.
  11. Das Bild von g^* bei der Spiegelung an b sei mit g^{**} bezeichnet. Es ist identisch mit dem Bild g'von g bei der Verschiebung S_b \circ S_a.
  12. Der Winkel zwischen g' und b sei mit \beta^* bezeichnet.



Aufgaben:
Begründen Sie 6.
Ergänzen Sie as folgende Beweisschema
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \alpha \tilde= \alpha^* ...
(II) \beta \tilde= \beta^* ...
(III) \alpha^* \tilde= \beta ...
(IV) ... ...
(V) g||g' ...

Verschiebungsweite

Satz: (über die Verschiebungsweite)

Es sei V=S_b \circ S_a eine Verschiebung V. Für jedes Paar (Originalpunkt P, Bildpunkt P' bei V) gilt: |PP'| = 2|ab|.
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