Lösung von Aufgabe 6.1 S (SoSe 12)

Aufgabe 6.1

Definieren Sie: Strecke, Länge einer Strecke, die Halbgerade $AB^+$ und die Halbgerade $AB^-$. Suchen Sie verschiedene Schreibweisen. (Hilfe finden Sie im Skript "Abstand, Anordnung, Strecke".)

Lösung von Monsta

Strecke:
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte auf einer Geraden g. Alle Punkte die auf dieser Geraden zwischen A und B liegen, zusammen mit den beiden Punkten selbst, bilden die Strecke AB.
Halbgerade AB+
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Wenn man die Strecke AB und alle Punkte P, die mit AB kollinear sind und von A aus hinter B liegen vereinigt, dann erhält man die Halbgerade AB+.
Halbgerade AB-
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Wenn man die Strecke AB und alle Punkte P, die mit AB kollinear sind und von B aus hinter A liegen vereinigt, dann erhält man die Halbgerade AB-.
--Monsta 22:41, 4. Jun. 2012 (CEST)

Anmerkungen von Buchner zu Monstas Definitionen

Zur Definition Strecke: Die Definition ist korrekt- allerdings brauchen Sie die Gerade g nicht zu nennen. Die Zwischenrealtion beinhaltet schon, dass alle Punkte kollinear sein müssen.
Zur Definition $\ AB^{+}$: Von der Idee absolut richtig. Allerdings ist "hinter B liegen" informell. Versuchen Sie es mal mit der Zwischenrealtion auszudrücken!
Zur Definition $\ AB^{-}$: Achtung: Strecke $\overline{AB}$ gehört nicht dazu!

--Buchner 12:20, 6. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Mahe84

Def. Strecke:

Eine Strecke AB (mit "überstrich") wird die Vereinigungsmenge der offene Strecke (AB) mit den Punkten A und B bezeichnet. oder AB (mit "übertrich") : = (AB) u {A,B}

Länge einer Strecke:

Der Abstand I AB I der Strecke AB (mit "überstrich") wird als Länge der Strecke AB bezeichnet.

Halbgerade AB+:

Existiert für die Strecke AB (mit "überstrich") ein Punkt, für den entweder Zw (ABP), Zw (APB) oder identisch mit B gilt, wird die Strecke Halbgerade AB+ genannt.

Halbgerade AB-:

Existiert für die Strecke AB (mit "überstrich") ein Punkt, für den Zw (PAB) gilt, wird die Strecke Halbgerade AB- genannt. --Mahe84 16:07, 7. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkungen von M.G. zu den Definitionen von Mahe84

Vorbemerkung

Sie sind auf dem richtigen Weg. Nur wenn man es probiert, die Begriffe aus eigener Kraft zu verbalisieren wird sich Erfolg einstellen. Kleine Unvollkommenheiten sind dabei notwendig, um Vollkommenheit zu erreichen. (s. hierzu meine Bemerkungen von heute in der Datei Selbstverteidigung und mentales Training (Veranstaltung vom 4. Juni)

Lassen Sie sich bitte nicht entmutigen und versuchen Sie die kleinen "Unvollkommenheiten" auszuräumen. Ich weiß, es bedarf einer hohen Frusttoleranz, aber eine solche müssen Sie ja später auch bei Ihren Schülern entwickeln.

Definition Strecke

Prinzipiell ist Ihre Definition richtig. Vom Ausdruck her lässt sie zu wünschen übrig.Ich lass mal einiges weg, um die sprachlichen Ungereimtheiten zu verdeutlichen: Eine Strecke wird die Vereinigungsmenge bezeichnet. Da stimmt was nicht. Ich nehme an, reine Flüchtigkeit. Man liest sich das Ganze zwar abschließend durch, liest jedoch nicht wirklich sondern das was man lesen möchte. Mit einigem zeitlichen Abstand fragt man sich verständnislos, was man da geschrieben hat.

Die Sache mit der Vereingungsmenge geht dann jedoch auch aus der Sicht der mathematischen Syntax schief: Sie wollen die offene Strecke $\overline{AB}$ mit den Punkten $A$ und $B$ vereinigen. Eine offene Strecke ist eine Punktmenge. Dies können Sie nur mit einer Menge von Punkten vereinigen. Dementsprechend müssen die beiden Punkte als Menge von Punkten betrachtet werden.
Kleine Hilfe: Ich bereite die Definition in Ihrem Sinne schon mal mit Tex-Tags vor:

Strecke: ...Strecke $\overline{AB}$ wird die Vereinigungsmenge der offenen Strecke $\overline{AB}$ mit der Menge, die aus den Punkten $A$ und $B$ besteht, bezeichnet.

Definition Länge einer Strecke

Die Länge einer Strecke ist der Abstand, den ihre Endpunkte zueinander haben. Das haben Sie richtig erkannt. Die Ungereimtheit liegt wieder im Ausdruck aus Sicht der deutschen Sprache:

Wenn Sie schreiben: Der Abstand $|AB|$ dann ist der Abstand der beiden Punkte zueinander gemeint. Damit ist der Abstand der beiden Punkte den beiden Punkten zuzuordnen. Sie schreiben jedoch: Der Abstand $|AB|$ der Strecke $\overline{AB}$ ... . Das passt so nicht. Ich verdeutliche das noch mal auf andere Art und Weise. Der Abstand zweier Punkte ist eine Zahl, die wir hier mal mit $d$ bezeichnen wollen. Unter Verwendung dieser Zahl $d$ würde Ihre Definition wie folgt beginnen:

Es sei $d$ der Abstand der beiden Punkte $A$ und $B$. Die Zahl $d$ der Strecke $\overline{AB}$ ...

Ich bereite die korrekte Schreibweise für Sie wieder vor:

Länge einer Strecke: Der Abstand $|AB|$ der ... der Strecke $\overline{AB}$ wird Länge von $\overline{AB}$ genannt.

Definition Halbgerade $AB^+$ und $AB^-$

Hier geht es richtig daneben. Zur Verdeutlichung das es so nicht geht, hier quasi die Quintessenz Ihrer Definitionen:

Definition Halbgerade:

Gilt für eine Strecke eine gewisse Existenzaussage, dann ist die Strecke eine Halbgerade.

Ergo: Jede Halbgerade ist eine Strecke.

Damit werden die Mathematiker nicht einverstanden sein.

Hilfe: Eine Halbgerade ist eine Menge von Punkten.

Halbgerade $AB^+$: Unter der Halbgeraden $AB^+$ versteht man die Menge der Punkte der Strecke $\overline{AB}$ vereinigt mit ... .

Korrekturen von Mahe84

Okay, vielen, vielen Dank für Ihre ausführliche Erläuterung, ich hoffe ich habe es jetzt verstanden!

Def. Strecke, ist klar, mit ein "wenig zeitlichem Abstand" ist es auch mir aufgefallen ...

Def. Länge einer Strecke:

Der Abstand $|AB|$ der beiden Punkte A und B der Strecke $\overline{AB}$ wird Länge von $\overline{AB}$ genannt.

Def. Halbgerade:

Unter der Halbgeraden $AB^+$ versteht man die Menge der Punkte der Strecke $\overline{AB}$ vereinigt mit der Menge aller Punkte P für die gilt: Zw(A,B,P).

Unter der Halbgeraden $AB^-$ versteht man die Menge der Punkte der Stercke $\overline {AB}$ vereinigt mit der Menge aller Punkte P für die gilt: ZW (P,A,B).

Bemerkungen M.G. zu den Korrekturen

Länge

So passt es. Aus rein didaktischer Sicht könnte man noch erwähnen, dass $A$ und $B$ die Endpunkte der Strecke sind:
Der Abstand $|AB|$ der Endpunkte $A$ und $B$ der Strecke $\overline{AB}$ wird Länge von $\overline{AB}$ genannt.
Oder:
Der Abstand der Endpunkte einer Strecke wird Länge dieser Strecke genannt.
Formal:
Länge einer Strecke $\overline{AB}$ in formaler Schreibweise:$\left|\overline{AB}\right|$.
Definition: $\left|\overline{AB}\right|:=\left|AB\right|$

Halbgerade AB⁺

passt

Halbgerade AB^-

$AB^+$ und $AB^-$ haben genau einen Punkt gemeinsam, nämlich den Anfangspunkt $A$. Die Strecke $\overline{AB}$ gehört nur zu $AB^+$.

Versuchen Sie es noch mal: Defintion: (Halgerade bzw. Strahl $AB^-$)

.

sonstige Bemerkungen

Schön, dass Sie dran geblieben sind. Versuchen Sie weiter zu analysieren, wo Ihre persönlichen Fehlerquellen liegen. Ich wette, die Sache mit der Halbgeraden $AB^-$ ist Ihnen absolut klar. Ihre letzte Definition war ein "Schnellschuss", bei dem Sie kurzerhand, ohne das Ganze noch einmal genau zu hinterfragen, das Schema von Halbgerade $AB^+$ verwendet haben. Was lernen wir: Immer wieder die eigenen Überlegungen hinterfragen. Das ist es dann auch, was Sie später Ihren Schülern mit auf den Weg geben werden.

zur weiteren Übung

Richtig verstanden haben Sie die Dinge erst, wenn Sie jetzt die Definitionen bzw. Sachverhalte noch einmal anders formulieren können.

Versuchen Sie es:

Definition S: (Punkt einer Strecke $\overline{AB}$
)

Es seien $A$ und $B$ zwei verschiedene Punkte. Ein Punkt $P$ ist ein Punkt der Strecke $\overline{AB}$, wenn ... .

Definition oHG⁺: (offene Halbgerade $AB^+$)

Es seien $A$ und $B$ zwei verschiedene Punkte. Unter der offenen Halbgeraden $AB^+$ versteht man die Menge aller Punkte $P$ von ..., für die nicht gilt: ... .

Definition HG^-: (Halbgerade $AB^-$)

Es seien $A$ und $B$ zwei verschiedene Punkte. Unter der Halbgeraden $AB^-$ versteht man die Menge der Punkte der Geraden $AB$, die nicht ... .

Hinweis zur Definition HG^-: Auf oHG⁺ darf zurückgegriffen werden.

noch ein paar Bemerkungen

Begriffe versteht man erst, wenn man sie aus "verschiedenen Blickwinkeln" betrachtet. Das ist das Wichtigste was Sie hier für Ihre spätere Tätigkeit als Lehrer mitnehmen sollen.
--*m.g.* 06:14, 9. Jun. 2012 (CEST)