Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)
Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte und
gilt:
Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)
Lösung von RitterSport
Version a
Schritt | Aktion |
---|---|
(1) | Zw (A,B,C) |
(2) | VxE![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(3) | ![]() ![]() |
Wie schreibt man bloß diese Formeln? (außer zu kopieren)^^
--RitterSport 16:44, 20. Mai 2012 (CEST)
Version b
Wäre Folgendes möglich?
Wegen Axiom I/1:
Wegen Zw (A,B,C): || + |
| = |
|
Somit ist c
Da ist was wahres dran, überzeugt mich so jedoch noch nicht.--*m.g.* 17:56, 20. Mai 2012 (CEST)
--RitterSport 16:56, 20. Mai 2012 (CEST)
Hinweise von M.G. zu LaTex
Schön, dass Sie sich an die LaTex-Syntax herantrauen. Kleine Motivationshilfe: Sie können diese Syntax auch in den modernen Wordversionen und natürlich in Open Office verwenden. LaTex selbst ist ein Textsystem für mathematische Texte, das Freeware ist. In LaTex selbst wird der Beginn und das Ende einer mathematischen Formel durch das Dollarzeichen gekennzeichnet. Hier in der Wikiseitenbeschreibungssprache verwenden wir nicht das Dollarzeichen sondern die Tags<math> </math>.
Eine umfassende Hilfe zu LaTex im Rahmen des Wikis finden sie hier [1]
Wenn Sie irgend etwas Bestimmtes suchen können Sie auch googeln: Nehmen wir an, Sie suchen das Zeichen für "für alle x": Geben Sie in Google die Suche "für alle x LaTex" ein und Sie sollten recht schnell fündig werden.
Hinweise von M.G. zu den Lösungsversuchen von RitterSport
Irgendwie scheinen Sie selbst noch nicht ganz überzeugt von Ihren Beweisen. Sie müssen die im übrigen nicht so formal schreiben, sie dürfen auch textliche Sätze (o-Ton von meinem ehemaligen Chemielehrer) verwenden.
Also ich versuche es mal:
Es seien und
drei paarweise verschiedene Punkte, von denen der Punkt
zwischen den beiden anderen Punkten, also
und
, liegt.
Zeigen sollen wir, dass nun die Strecke eine Teilmenge der Strecke
ist.
Dieses hätten wir gezeigt, wenn wir nachgewiesen hätten, dass jeder Punkt von .... auch ein Punkt ..... (ergänzen Sie selbst.)
Es sei nun ein beliebiger Punkt der Strecke
.
Weil zur Strecke
gehört, liegt er entsprechend der Definition des Begriffs Strecke zwischen den beiden Punkten .... (ergänzen Sie wieder selbst)
Da nun der Punkt zwischen den Punkten .... liegt, gilt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die folgende Gleichung:
....
Zeigen wollen wir, das auch zwischen .... liegt.
Entsprechend der Definition der Zwischenrelation wäre letzteres der Fall, wenn die Gleichung ... gelten würde.
Für den Nachweis der Gültigkeit der obigen Gleichung dürfen wir die Voraussetzung, dass zwischen
und
liegt verwenden. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich diese Voraussetzung wie folgt dar: ....
Jetzt haben Sie zwei Gleichungen, von denen Sie ausgehen dürfen und eine deren Gültigkeit Sie nachweisen müssen. Wenn Sie wissen, welche Gleichungen das sind, sollte der Beweis kein Problem mehr sein. Viel Erfolg! --*m.g.* 17:55, 20. Mai 2012 (CEST)
Lösungsvorschlag (oz44oz)
--Oz44oz 17:58, 21. Mai 2012 (CEST)
--H2O 18:18, 21. Mai 2012 (CEST)
Frage zum Lösungsvorschlag von H20
--Kopernikus 18:40, 22. Mai 2012 (CEST)
Ich weiß nicht, ob deine Vorraussetzung so richtig ist
Ich glaube da geht ein Teil der Vorraussetzung frend mit der Behauptung.
Was mir noch aufgefallen ist und über was ich mir auch den Kopf zerbrochen hab ist, ob man irg. sagen kann, dass koll(ABC)
In der Aufgabe steht das nicht. Es steht da, sie sind paarweise verschieden und zw(ABC).
Ich hab das mal rausgeschrieben, was meiner Meinung nach dafür notwendig wäre. Jedoch bin ich immer wieder in die Schranken gewiesen worden. :-(
Einfach zu sagen sie sind halt koll geht glaube ich nicht.
Definition I/2: (kollinear)
- Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
- Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)
es wird in der Def. kollinear von einer Geraden, nicht von einer Stecke gesprochen. Ich weiß leider noch zu wenig über die Strecke. Ich weiß nichtmal, dass die ein Teil einer Geraden sein könnte.
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
- Für drei beliebige Punkte
und
gilt:
- Für drei beliebige Punkte
- Falls
, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
- Falls
- Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind
,
und
kollinear.
ich kann nicht sagen Sie sind kollinear, wenn ich nicht weis, ob
Definition II.2: (Zwischenrelation)
- Ein Punkt
liegt zwischen zwei Punkten
und
, wenn gilt:
- Ein Punkt
-
und
,
und
sind paarweise verschieden.
-
- Schreibweise:
sagt nichts über kollinear
- Schreibweise:
Definition II/3 "Vorschlag Kopernikus" Def. Strecke)
- Die Strecke
ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.--Kopernikus 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)
sagt auch nnichts über kollinear.
- Die Strecke
Ich finde deshalb oz44oz Lösung sehr gut und denke auch, dass diese so richtig ist. :-)
--Kopernikus 18:39, 22. Mai 2012 (CEST)
Anmerkungen von Buchner zu Lösungsvorschlag (oz44oz) und Diskussion
Sie führen eine sehr gute Diskussion. Zunächst dazu, ob aus gefolgert werden kann, dass gilt
. Die Antwort ist: Ja. Sie können den Satz
leicht beweisen. Tipp: Schauen Sie das Axiom Dreiecksungleichung nochmal genau an!
Die Lösung von oz44oz fängt sehr gut an und ist gut aufgeschrieben. Ich sehe aber ein Problem: Wie können Sie aus Schritt 5 den Schritt 6 begründen? Sie stecken hier ziemlich viel "Hintergrundwissen" rein, was Sie aus der Anschauung gewinnen, also z.B. aus einer Skizze. Für einen formalen Beweis reicht das leider nicht.
Also konkret: Sie behaupten in Schritt 5 und 6 einfach, dass ist. Warum sollte das so sein? Wenn Sie es hier schaffen, sauber zu begründen (d.h. die fehlenden Beweis- und Begründungsschritte einzufügen), sind wir ein gutes Stück weiter.
Frage an Fr. Buchner
"Die Antwort ist: Ja. Sie können den Satz
leicht beweisen.
Vielleicht hat man mich falsch verstanden." Ich kann doch nur weil ich was vielleicht beweisen darf einfach so annehmen und mit dazu in die Vor. stecken ...oder doch??? Und wenn nicht muss ich das sagen, dass ich die wegen des Satzes weiß.--Kopernikus 17:02, 23. Mai 2012 (CEST)
Satz II.2:
- Aus
folgt
.
- Aus
Ist trivial....der Leser überzeugt sich davon...
Aber ich würde es auf jedenfall vermerken, dass ich mich auf den Satz berufe....die Frage ist jedoch, darf ich was annehmen, nur weil es trivial ist? Wo ziehe ich die Grenze was trivial ist und was nicht? Zitat aus der Vorlesung von m.g. in seinem Studium war viel trivial was nicht gleich ersichtlich ist." Ich brauche ein Axiom um zu zweigen, dass für :Für zwei beliebige Punkte und
gilt
. das ist für mich auch trivial.--Kopernikus 17:29, 23. Mai 2012 (CEST)
Antwort an Kopernikus
Ich gebe Ihnen Recht- Wenn "trivial" als Beweis für einen Satz steht, ist das nicht zufriedenstellend. Aber trivial bedeutet, dass man es ganz leicht beweisen kann- im Gegensatz zu einem Axiom. können Sie nicht beweisen, deshalb müssen wir es axiomatisch fordern.
Sowohl Axiome als auch Sätze können leicht ersichtlich sein- der Unterschied ist, dass wir Axiome nicht beweisen können und Sätze beweisen müssen.
Ich gebe Ihnen einen Tipp für den Satz
Aus folgt
.
Die Entscheidende Begründung (innerhalb des realtiv kurzen Beweises) liegt im letzten Teil der Dreiecksungleichung: Zitat: "Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind A, B und C kollinear"
.--Buchner 13:47, 24. Mai 2012 (CEST)
Lösung von H2O
--H2O 20:06, 28. Mai 2012 (CEST)
Kommentar M.G.
Wenn gilt, dann ist unmittelbar klar, dass
gilt. O.B.d.A. ist somit nicht angebracht. Die weiteren Beweischritte überzeugen dann allerdings nicht.
Zu zeigen ist: .
Annahme: nicht alle der Strecke
gehören zu
also Annahme: Die Strecke enthät einen Punkt
, der nicht zu
gehört:
Wir übersetzen die Annahme:
Es gibt ein auf
bedeutet: Es gibt ein
, für den die Gleichung
(I) gilt.
Der nicht zu gehört:
(II)
Zusammen mit der Gleichung aus Schritt 2 Ihres Beweises sollte das Problem jetzt zu knacken sein. Viel Spaß dabei.--*m.g.* 10:19, 29. Mai 2012 (CEST)
Lösungsversuch 2 von H2O
danke, somit zweiter Versuch
--H2O 19:43, 31. Mai 2012 (CEST)
Kommentar M.G.
Voraussetzung
und
ist in Ordnung
Behauptung
ist in Ordnung
Annahme
Es existiert Der Beweis wird indirekt per Widerspruch geführt, ist so in Ordnung.
Beweisschritt 1
Wir berufen uns auf die Voraussetzung , das dürfen wir und es ist auch sinnvoll das zu tun.
Beweisschritt 2
Aus (1) (wäre in der Begründung anzugeben) folgt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die Gleichung . korrekt
Beweisschritt 3
Wir versuchen, die Annahme ins Spiel zu bringen. Das macht Sinn. Ich nehme an, den Schreibfehler haben Sie bereits gesehen. korrekt wäre:
Beweisschritt 4
Wenn die Annahme richtig wäre, könnte nicht zwischen
und
liegen und damit würde die Gleichung
nicht gelten, was, wie Sie es korrekt formuliert haben,
bedeuten würde.
Beweisschritt 5
Jetzt wird es falsch. Schritt 4 lieferte uns . Demnach können 2 Fälle auftreten: entweder die linke Seite der Ungleichung ist größer als die rechte Seite der Ungleichung oder die linke Seite der Ungleichung ist kleiner als die rechte Seite der Ungleichung:
Fall 1:
Fall 2:
Sie betrachten nur Fall 1, diesen jedoch nicht korrekt. Wenn die Ungleichung gilt (und davon gehen wir bei unserem Widerspruchsbeweis ja aus) kann nicht der Fall
auftreten. Also einfach nur
bzw.
.
Beweisschritt 6
Sie untersuchen Fall 1: .
wird entsprechend (2) durch
ersetzt, was uns
liefert.
Beweisschritt 7
Jetzt geht es durcheinander. Sie bringen und
ins Spiel. Sie begründen mit der Definition der Zwischenrelation. Ich muss jetzt vermuten, warum Sie gerade jetzt auf
und
kommen. Ich habe den Verdacht, dass Sie das aus der linken und aus der rechten Seite der Ungleichung aus Schritt 7 schließen. Das wäre nicht korrekt. Allein aus der Aussageform
können Sie nicht auf
schließen. Dazu bedarf es einer Gleichung und nicht einer Ungleichung. Das Verrückte ist, dass Sie mit der Gültigkeit von
und
recht haben.
liegt nach Voraussetzung zwischen
und
und entsprechend unserer Annahme gehen wir davon aus, dass
ein Punkt der Strecke
ist und somit
gilt. Ich komme auf den Verdacht, dass Sie die Zwischenrelationen aus (6) ableiten, weil wir für die Gültigkeit der genannten Zwischenbeziehungen ja eigentlich keine Gleichung gebraucht hätten. Die Aussage von Schritt 7 hätten wir schon längst haben können. Es hätte nicht der Schritte (4), (5) und (6) bedurft.
Beweisschritt 8
Jetzt wird es definitiv falsch. Aus und
kann auf keinen Fall
gefolgert werden.
Beweischritt 9
Wäre korrekt, wenn (8) korrekt wäre. (8) war aber leider nicht korrekt.
Lösung RitterSport
Meine Idee:
Voraussetzung: Zw(A,B,C), A n=B n=C n=A
Behauptung: Die Strecke AB ist eine echte Teilmenge von der Strecke AC
Beweis:
Nr | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(1) | Zw(A,B,C) | Voraussetzung |
(2) | AB| + |BC| = |AC| | (1), Zw.-Rel. |
(3) | C Element AB+ | (1), Def. Halbgerade |
(4) | koll(A,B,C) | (2), II.3 |
zu zeigen: Alle x von sind in
UND es existieren x in
, die nicht in
sind.
besteht aus den Punten A(Fall 1), B(Fall 2) und den Punten zwischen A und B(Fall 3).
Nun muss ich zeigen, dass alle 3 Fälle auch in liegen.
Fall 1: A gehört zu (trivial), weil
definiert ist als:
={P\AB+BC=AC} (2)
Fall 2: B gehört zu , da koll(A,B,C)(3) und Zw(A,B,C)(1)
Fall 3: Zw(A,X,B) gehört zu weil wir das gleich im Widerspruchsbeweis zeigen.
Wir wollen zeigen, dass X nicht nur zwischen A und B liegt, sondern auch zwischen A und C. Wenn wir zeigen können, dass koll(A,X,C) gilt, wissen wir, dass eine Zwischenreation gilt.
Überschrift 1 | Überschrift 2 |
---|---|
(3.1): koll(A,B,C) | (4) |
(3.2): Zw(A,X,B) | Fall 3 |
(3.3): koll(A,X,B) | (3.2), Dreiecksungleichung |
(3.4): koll(A,X,C) | (3.1), (3.3) darf man das? |
(3.5): Zw(A,X,C) v Zw(X,A,C) v Zw(A,C,X) | (3.4), Dreiecksungleichung |
Anmerkungen von Buchner zur Lösung von RitterSport
Ihre Vorgehensweise gefällt mir sehr gut und alles ist gut nachvollziehbar und gut begründet. Gehen wir den Beweis mal Schritt für Schritt durch.
Obere Tabelle: Gute Idee- Sie schreiben alles auf, was Sie aus der Voraussetzung schonmal folgern können. (3) müssen Sie etwas anders begründen. Dass gilt wegen (1) und der Definition von Halbgerade. Ansonsten Super!
Sehr schön, wie sie das zu zeigende nochmal ausformuliert haben! Fallunterscheidung auch gut- aber Achtung: Bei Fall drei müssen sie nicht zeigen, dass Zw(A,X,B) gilt. Das ist ihre Annahme für Fall drei, d.h. das steht hier fest. Zu zeigen ist für Fall drei, dass , d.h. dass
gilt.
Ihre Idee eines Widerspruchsbeweises ist gut. Also:
Fall drei:
Vor: (und zusätzlich alles aus der obersten Tabelle)
Beh: und somit
.
a) Zunächst müssen wir zeigen, dass , denn dann wissen wir, dass genau eine der Zwischenrealtionen gilt.
b) Anschließend führen wir die beiden Zwischenrealtionen und
zum Widerspruch.
Können Sie hier weitermachen?
--Buchner 11:35, 11. Jun. 2012 (CEST)
Vielen Dank für Ihre Rückmeldung.
Ich versuche mein Glück und überarbeite das Fehlerhafte nochmal.