20.06.2012: Epizykloide und Asteroide

Was bedeutet das?

Asteroid kommt aus dem griechischen und bedeutet: 'Sternartiger'

Konstruktion und Ideen bzgl. einer Asteroide

Wie sieht eine Asteroide aus?

So:

Wie konstruiere ich mir das?

Zunächst ist es sinnvoll zu betrachten, was hier überhaupt los ist:

• Wir haben einen kleinen Kreis, der innerhalb eines größeren Kreises abrollt. Ein fixer Punkt auf dem Kreis (B') hinterlässt seine Spuren!
• Der kleine Kreis dreht sich ganz offensichtlich viermal im Laufe der Zeit, in der der kleine Kreis das innere des großen Kreise umlaufen hat (das kann man sich bildhaft darstellen: Im Laufe der Zeit, die die Erde braucht um einemal um die Sonne zu tigern (also in der Regel schafft sie es innerhalb eines Jahres) (vgl. kleiner Kreis im großen Kreis) dreht sie sich 365 mal um sich selbst (kleiner Kreis dreht sich um sich selbst)
• Wie hängen nun einzelne Drehwinkel zusammen?

Um die letzte Frage frage zu beantworten, schauen wir uns mal einen Spezialfall an:
Um eine bessere Verdeutlichung darstellen zu können, ist ein zusätzlicher Strahl eingezeichnet:

Der Drehwinkel von $\ MA'^{+}$ ist so eingestellt, dass B' wieder ein Punkt des Kreises ist. Da dies viermal passiert, ist der Drehwinkel wohl insgesamt 90°.
Nun dreht sich der kleine Kreis genau einmal um die eigene Achse.

Welchen Radius muss der kleine Kreis haben?

Dazu nutzen wir die Berechnung am Einheitskreis. Wenn der kleine Kreis einen Umfang besitzt, der genau so groß ist, wie 1/4 Kreisbogen des großen Kreises gilt folgendes: $2r_k* \pi = \frac{1}{4} 2r_g* \pi <br /> 2r_k* \pi = \frac{1}{4} 2*(1)* \pi <br /> r_k = \frac{1}{4}*(1)$

Natürlich ginge das auch ohne Einheitskreis, aber in der Vorstellung wird es wohl einfacher vorstellbar sein. (Was für ein Satz; erinnert ein wenig an: 'Vom Feeling her habe ich ein gutes Gefühl' (Andreas Möller) :-))
--Flo60 20:05, 23. Jun. 2012 (CEST)

Wir sind also zu der Erkenntnis gelangt, dass der Radius des kleinen Kreises 1/4 der Länge des Radius des großen Kreises ausmacht.

Weil ja nun bei der Drehung des kleinen Kreises A Drehzentrum ist und somit Fixpunkt bzgl. der Drehung um A ist, bewegt sich A bei der Drehung um M auf einem Kreis.

Welchen Radius hat nun dieser Kreis

...selbst ist die Frau...selbst ist der Mann...

Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Drehwinkel um M und dem Drehwinkel des kleinen Kreises?

Ganz offensichtlich: Wenn sich der kleine Kreis bei unserer Konstruktion (Asteroide) viermal um sich selbst drehen muss, bis sich der gesamte Kreis einmal durch den großen gerollt hat, scheint der Drehwinkel des kleinen Kreises wohl genau viermal so groß zu sein, wie der Drehwinkel um M.

Übung

• Konstruiere einen fünfzackigen Stern (Was fällt auf?/Gibt es Gemeinsamkeiten?)
• Konstruiere einen dreizackigen Stern (Was fällt auf?/Gibt es Gemeinsamkeiten?)
• Konstruiere einen zweizackigen Stern (Was fällt auf?/Gibt es Gemeinsamkeiten?)

Ein Blick in die Ferne

Was passiert, wenn $|\overline{A'B'}|$ ungeleich dem Radius des kleinen Kreises ist?

===Fall 1: $|\overline{A'B'}| < r_k$

===Fall 2: $|\overline{A'B'}| > r_k$

Ein Blick in ferne Galaxien

Den Quellen von Wikipedia zu Folge, beträgt der Durchmesser der Erde 12.700 km. Die Umlaufbahn ist - wie sich wohl herumgesprochen hat - elliptisch. Da die Umlaufbahn der Erde allerdings nur ganz gering von einem Kreis abweicht, können wir hier auch auf einen Kreis zurückgreifen. Der Umfang dieser elliptischen Umlaufbahn beträgt (ebenfalls laut Wikipedia) 940.000.000 km (das bedeutet, wir rasen jeden Tag gemütliche 2,57 Mio. (!!!!!!!!!!!!!!!) Kilometer durchs All - soll sich das mal einer vorstellen!)

Wenn nun Flo60 auf der Erde steht und sich ein Jahr lang nicht bewegt und Flo60 eine bengalische Fackel in der Hand hält, deren Rauch sich ein Jahr lang nicht verändert oder verzieht, dann schaut die Spur dieser Fackel wohl so aus:

Berechnung der Umfänge/Radien

$2*r_U*\pi = 940.000.000<br /> 2*r_U = 313.000.000<br /> r_U = 15.600.000$

---

$r_E = 6.350 <br /> 12.700*\pi = u_E <br /> 38.100 = u_E$

Wobei $r_U \ bzw. \ r_E$ der Radius der Umlaufbahn bzw. der Erde ist, $u_E$ der Umfang der Erde ist und $\pi$ ungefähr 3 ist.

Der Umfang der Umlaufbahn ist also 410 mal größer als der Umfang der Erde. Der Einfachheit halber gehen wir von 400 aus.

Drehwinkel

Der Drehwinkel der Erde um die Umlaufbahn ist mit 360° sonnenklar (ha, Wortspiel), der Drehwinkel ist unserer vorherigen Überlegung folgend mit $365\alpha$ anzugeben.

Radius des Kreises, auf dem sich der Mittelpunkt der Erde bewegt

Weil wir den Radius der Umlaufbahn mit 15.600.000 km angegeben haben und der Erdradius mit 6.350 km angegeben ist, beträgt der Radius desjenigen Kreises, auf dem sich der Mittelpunkt der Erde bewegt, (15.600.000 - 6.350)km = 15.593.650 km.

Es wird wohl so sein, dass die Rollkurve, die Flo60's bengalische Fackel hinterlässt, sich ebenfalls einem Kreis annhähert.

Konstruktion

Leider schafft es Geogebra nicht (wer soll es auch verübeln), dass sich die 'Erde' mit Flo60 in einem 'Jahr' (als Umlauf) 365x um sich selbst dreht. Ist aber egal, da die Ortslinie ja angegeben ist.

Soweit viel Spass beim Erdedrehen :-)

PS: Mit meiner obigen Vermutung, dass sich die Rollkurve einem Kreis annähert, habe ich mich wohl dezent geirrt :-) --Flo60 11:34, 24. Jun. 2012 (CEST)