Lösung von Aufgabe 6.9

Vorlage

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.
Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte $\ A, B$ und $\ C$ ..., dann ... .

Beweis

Es seien also $\ A, B$ und $\ C$ drei Punkte.
Voraussetzungen:

...

Behauptung

$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{ , , \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{ , , \right \}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}$	Voraussetzung
(II)	Element	Element
(III)	Element	Element
(IV)	Element	Element
(V)	Element	Element

Versuch I

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.
Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte $\ A, B$ und $\ C$ kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten (und umgekehrt???) .

Beweis

Es seien also $\ A, B$ und $\ C$ drei Punkte.
Voraussetzungen: koll($\ A, B$ und $\ C$)

Behauptung

$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}$	Voraussetzung
(II)	Für drei beliebige Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt: $\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.$	Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
(III)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$	Axiom II/3.1
(IV)	$\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$	Axiom II/3.2
(V)	$\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|$	Axiom II/3.3

--Heinzvaneugen