Kreise 2012 13

Aufgaben zum Einstieg Aufgabe 1 Lassen Sie die folgenden Punktmengen in der obigen Geogebraapplikation grafisch darstellen. Um was für geometrische Objekte handelt es ich in jedem Fall? Begründen Sie Ihre Antwort. $\left\{P\left(x_P|y_P\right)|x_P^2+y_P^2=1, x_P,x_P \in \mathbb{R} \right\}$ $\left\{P\left(x_P|y_P\right)|\left(x_P-3\right)^2+\left(y_P-2\right)^2=5^2, x_P,y_P \in \mathbb{R}\right\}$ Aufgabe 2 Lassen Sie die folgenden Kreise mittels Geoegebra grafisch darstellen, indem Sie jeweils eine entsprechende Gleichung in die Eingabezeile eintragen. Mittelpunkt: $M(0|0)$ Radius: $r=5$ Mittelpunkt: $A(2|2)$ Radius: $r=4$ Kreise in der synthetischen Geometrie Vereinbarung Alle unsere folgenden Betrachtungen beziehen sich auf die Geometrie in der Ebene. Kreisdefinition Definition Es seien $M$ ein Punkt und $r$ eine positive reelle Zahl. Unter dem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem radius $r$ versteht man ... Abstände von Punkten Wir beziehen uns auf die obigen Punkte $A\left(x_A,y_A\right)$ und $B\left(x_B,y_B\right)$. Der Punkt $C$ ist der Schnittpunkt der Senkrechten durch $A$ auf die x-Achse mit der Senkrechten von $B$ auf die y-Achse. Der Punkt $C$ hat damit die Koordinaten $\left(x_A-x_B|y_A-y_B\right)$. Das Dreieck $\overline{ABC}$ ist rechtwinklig. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: (I) $|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2$ Unter Berücksichtigung der Koordinaten von $A, B, C$ schreibt sich (I) wie folgt: (II) $|AB|^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2$ Definition $|AB|=\sqrt{\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2}$ Analytische Beschreibung von Kreisen mittels des Satzes von Pythagoras