Lösung von Aufgabe 1.1 (WS 12)

Aufgabe 1.1

Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie!

Bitte die Lösungen in die untere Tabellen eintragen.

Lösung von User: Ridcully

Nr	Text	Definition ja/nein	Falls Definition: Typ	Begründung
1.	Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.	ja	formell	ist eine eindeutige Benennung
2.	Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.	nein		ist ein Satz
3.	Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.	nein		warum etwas definieren, wenn es nicht existiert ?
4.	Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.	nein		Existenzaussage, keine Definition
5.	Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.	ja	informell	eindeutige Benennung
6.	Es gibt Sehnenvierecke.	nein		Existenzaussage
7.	Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.	nein		Satz
8.	Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.	ja	informell
9.	Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.	ja	informell	eindeutig
10.	Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.	ja	informell	siehe Vorlesung
11.	Es seien a und b zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf a und b jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.	ja	operativ	die Handlung erzeugt ein Trapez
12.	Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.	ja	informell
13.	Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.	ja	informell
14.	Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.	nein		Satz
15.	Jedes Quadrat ist ein Rechteck.	nein		Satz
16.	Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.	ja	informell

zu 3

Klar gibt es sowas nicht. Eine Definition ist es trotzdem. Es wurde verklausuliert die Leere Menge $\not O$ definiert.

zu 8

Wir gehen davon aus, das kongruent und Nebenwinkel korrekt definiert wurden. Was könnte der Mathematiker auszusetzen haben? Warum sollte diese Definition nicht formal korrekt sein?

zu 10

Die Definition wäre von der Idee der Exaktheit her nur intuitiv.

generelle Bemerkungen

In der Vorlesung haben wir verschiedene Typen von Definitionen genannt.

Diese Typen haben wir nach zwei Aspekten eingeteilt.

(V) Einteilung nach der Tiefe des Verständnisses, bzw. der mathematischen Exaktheit

1. intuiv
2. informell
3. formal korrekt

(F) Einteilung nach Art und Weise der Formulierung der Definition

• Formuliert man eine Definition in der Form "Wenn-Dann", so handelt es isch um eine sogenannte Konventionaldefinition.
• Formuliert man eine Definition in der Art einer Handlungsanleitung, so spricht man von einer operativ genetischen Definition.
• Übliche Definitionen, die nicht in wenn-dann oder operativ-genetisch formuliert wurden, heißen Realdefinitionen.

Unabhängigkeit beider Einteilungen

Prinzipiell kann man jetzt jeden Typ der Einteilung (F) mit jedem Typ der Einteilung (V) kombinieren.

In der Aufgabe war nach dem Typ (F) gefragt.

== ===Lösung von User:=== == Sissy66

Nr	Text	Definition ja/nein	Falls Definition: Typ	Begründung
1.	Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.	ja	Realdefinition	formell
2.	Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.	Nein	Element	Basiswinkelsatz
3.	Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.	ja	genetische Definition	informell
4.	Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.	nein	Element	Existenzaussage
5.	Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.	ja	Konventionaldefinition	eigentlich eine falsche Definition, weil der Zusatz "genau dann" fehlt, sonst könnte es auch was anderes sein.
6.	Es gibt Sehnenvierecke.	nein	Element	Existenzaussage
7.	Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.	nein	Element	Satz
8.	Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.	ja	Realdefinition	formell
9.	Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.	ja	Konventionaldefinition	formell
10.	Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.	ja	genetische Definition	intuitiv
11.	Es seien a und b zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf a und b jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.	nein	Element	Satz, somit beweisbar (wegen "Es seien...")
12.	Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.	ja	Realdefinition	formell
13.	Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.	ja	Realdefinition	Kriterium für 12.
14.	Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.	nein	Element	es würden 3 rechte Innenwinkel ausreichen um dies zu definieren.
15.	Jedes Quadrat ist ein Rechteck.	nein	Element	falsche Definition, sonst würde auch eine Raute ein Rechteck sein ("Jedes" ist nicht richtig)
16.	Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.	ja	Realdefinition	informell (Zusatz: "wobei je zwei..." könnte man auch weglassen)

Lösung von User:

Nr	Text	Definition ja/nein	Falls Definition: Typ	Begründung
1.	Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.	Ja	Realdefinition	weil keine Bauanleitung (operativ genetische Definition) und keine Wenn-Dann-Formulierung (Konventionaldefinition)
2.	Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.	Nein	-	keine Definition, sondern eine Aussage
3.	Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.	Ja	genetisch operative Definition	Weil man , wenn es möglich wäre, die Dreiecksschneidende anhand der Definition zeichnen kann (Bauanleitung)
4.	Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.	Nein	-	"es gibt" , Aussage
5.	Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.	Ja	Konventionaldefinition	Wenn-Dann
6.	Es gibt Sehnenvierecke.	Nein	-	Aussage, aber keine Definition
7.	Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.	Nein	-	Aussage, aber keine Definition
8.	Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.	Ja	Realdefinition	keine Bauanleitung (operativ genetische Definition) und keine Wenn-Dann-Formulierung (Konventionaldefinition) ; "der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist" = ein spezifisches Merkmal (typisch für Realdefinition)
9.	Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.	Ja	Konventionaldefinition	Wenn-Dann-Formulierung
10.	Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.	Ja	intuitiv, Realdefinition?	wegen dem Vergleich mit dem Viereck auf der bayrischen Fahne (= spezifisches Merkmal)?)
11.	Es seien a und b zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf a und b jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.	Nein ?	-	Aufgabenstellung; Es ist zwar eine "Bauanleitung", aber darüber wird nichts definiert, sondern man erfährt, wie man EIN Trapez zeichnen kann.
12.	Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.	Ja	genetisch operative Definition ?	eine genetisch operative Def. könnte es sein, weil man anhand der Def. die Mittelsenkrechte zeichnen kann
13.	Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.	Ja	Realdefinition	spezifisches Merkmal wird genannt
14.	Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.	Nein	-	Aussage, aber keine Definition
15.	Jedes Quadrat ist ein Rechteck.	Nein	-	Aussage, aber keine Definition
16.	Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.	Ja	Realdefinition	Definition durch Oberbegriff und spezifisches Merkmal

Lösung von User:

Nr	Text	Definition ja/nein	Falls Definition: Typ	Begründung
1.	Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.	Element	Element	Element
2.	Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.	Element	Element	Element
3.	Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.	Element	Element	Element
4.	Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.	Element	Element	Element
5.	Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.	Element	Element	Element
6.	Es gibt Sehnenvierecke.	Element	Element	Element
7.	Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.	Element	Element	Element
8.	Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.	Element	Element	Element
9.	Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.	Element	Element	Element
10.	Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.	Element	Element	Element
11.	Es seien a und b zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf a und b jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.	Element	Element	Element
12.	Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.	Element	Element	Element
13.	Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.	Element	Element	Element
14.	Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.	Element	Element	Element
15.	Jedes Quadrat ist ein Rechteck.	Element	Element	Element
16.	Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.	Element	Element	Element