Bewegungen (2012 13)
Der Begriff der BewegungDie GrundideenStarrheit und Kopieren
Abstraktion von den physikalischen GegebenheitenDie Materie scheint schwer genug zu sein. Wir werden unsere Betrachtungen auf eine einzige Ebene ε einschränken. Die Lochschablone ist nichts anderes als das Modell unserer Ebene. Leider muss jedes physikalische Modell, mit dem der Schüler auch noch konkret handelnd tätig werden soll, flächenmäßig beschränkt sein.Für den mathematischen Bewegungsbegriff abstrahieren wir von dieser Beschränktheit. Das ist uns eigentlich schon länger klar, soll an dieser Stelle jedoch noch einmal besonders hervorgehoben und betont werden. Hinter der Idee des Kopierens steckt nichts anderes als der mathematische Abbildungsbegriff. Jedem Original wird ein Bild zugeordnet. Der Definitionsbereich für unsere Abbildungen ist die gesamte Ebene. Ihr Bild ist sie selbst. Jeder Punkt der Ebene ε wird auf genau einen Punkt der Ebene ε abgebildet. Aus mathematischer Sicht ist es egal, ob unser Ebenenmodell aus Plastik oder Glas ist. Aus Gummi dürfte es allerdings nicht sein, denn Gummimatten sind mit Sicherheit nicht starr. Die Starrheit bedeutet nichts weiter, als dass zwei Originalpunkte denselben Abstand haben wie ihre Bildpunkte. Der Begriff der BewegungDefinitionDefinition 1.1: Bewegung
Eigenschaften von BewegungenSatz 1.1: (Bijektivität von Bewegungen)
Beweis von Satz 1.1VorüberlegungenEs sei Wir haben zu zeigen, dass und ist. SurjektivitätDie Surjektivität ergibt sich entsprechend der Definition 1.1 (Abbildung auf) InjektivitätAlle unsere folgenden Bemerkungen beziehen sich auf ein und dieselbe Ebene zu zeigen:
Wir entscheiden uns dafür, 3. zu zeigen. Wir führen den Beweis indirekt. (Ergänzen Sie den Beweis!)
Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen)
Beweis von Satz 1.2Zunächst ist allgemein bekannt, dass die NAF zweier Abbildungen eine Abbildung ist (s. Algebra I). Es seien Satz 1.3: (Zwischenrelation als Invariante von Bewegungen)
Beweis von Satz 1.3Es seien (*) zu zeigen: (**) Wir übersetzen zunächst (*):
entsprechend (**) haben wir zu zeigen, dass Den Rest können Sie alleine ... . Satz 1.4: (Geradentreue, Halgeradentreue, Streckentreue, Schnittpunkttreue bei Bewegungen)
Beweis von Satz 1.4:
Satz 1.5: (Winkelgröße als Invariante bei Bewegungen)
Beweis von Satz 1.5:Abstandserhaltung von |