Beispiele für endliche Gruppen
Restklassen modulo 4
mit
(Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),
Wir definieren auf eine Verknüpfung wie folgt:
Die Struktur ist eine Gruppe:
- Die Verknüpfung ist auf der Menge abgeschlossen, d.h. ,
- Die Verknüpfung ist auf der Menge assoziativ, d.h. ,
- hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse , d.h. ,
- Zu jedem Element aus gibt es ein inverses Element, d.h. .
Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften:
Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen.
Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe :
Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung auf kommutativ ist:
- .
Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.
Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks
Unter wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck auf sich selbst abbilden.
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