Gruppeneigenschaften
Eine Menge ist bezüglich einer Verknüpfung bzw. einer Operation eine Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
Beispiele für endliche Gruppen
Restklassen modulo 4
![\mathbb{Z}_4:=\left\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3} \right\}](/images/math/3/a/e/3aeeb3505eb98fa86b70341d6244cffb.png)
mit
(Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),
Wir definieren auf eine Verknüpfung wie folgt:
Die Struktur ist eine Gruppe:
- Die Verknüpfung
ist auf der Menge abgeschlossen, d.h. ,
- Die Verknüpfung
ist auf der Menge assoziativ, d.h. ,
hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse , d.h. ,
- Zu jedem Element aus
gibt es ein inverses Element, d.h. .
Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften:
Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen.
Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe :
Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung auf kommutativ ist:
.
Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.
Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats
Hierbei verstehen wir unter die Menge aller Drehungen die das Quadrat auf sich selbst abbilden:
![D_Q:=\left\{D_{0}, D_{90}, D_{180}, D_{270}\right\}](/images/math/8/9/5/895f6c89f2aec1fc86f80249800e1231.png)
Die Verknüpfung sei die NAF.
Daraus ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:
![Verknüpfungstafel DR.3JPG.JPG](/images/thumb/8/84/Verkn%C3%BCpfungstafel_DR.3JPG.JPG/200px-Verkn%C3%BCpfungstafel_DR.3JPG.JPG)
Überprüfung der Gruppeneigenschaften:
1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle
2. Assoziativität: Drehungen sind immer assoziativ
3. Neutrales Element: ![D_{0}](/images/math/a/1/6/a165591560a7240c7eda9d2668be0a86.png)
4. Inverse Elemente: und und und ![D_{270} \cdot D_{90} = D_{0}](/images/math/d/4/a/d4a672fb8f51a4d896e63d09549f971b.png)
Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine zyklische Gruppe.
--Jessy* 16:26, 11. Dez. 2012 (CET)
Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks
![Decvkabbildungen Rechteck.png](/images/thumb/e/e0/Decvkabbildungen_Rechteck.png/300px-Decvkabbildungen_Rechteck.png)
Unter wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum ) und Geradenspiegelungen:
![D_R:=\left\{D_{0}, D_{180}, S_m, S_n\right\}](/images/math/1/2/c/12c7c5a6df4edf8896afbbbedb5679d9.png)
Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:
![Verknüpfungstafel DR.4.JPG](/images/thumb/6/69/Verkn%C3%BCpfungstafel_DR.4.JPG/200px-Verkn%C3%BCpfungstafel_DR.4.JPG)
Überprüfung der Gruppeneigenschaften:
1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle
2. Assoziativität: Gegeben
3. Neutrales Element: ![D_{0}](/images/math/a/1/6/a165591560a7240c7eda9d2668be0a86.png)
4. Inverse Elemente: und und und ![S_{n} \cdot S_{n} = D_{0}](/images/math/8/5/2/852954db34c12adff62e17be1b0478b3.png)
Anmerkung: Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe und wird auch Kleinsche Vierergruppe genannt.
--Jessy* 10:17, 12. Dez. 2012 (CET)
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