Serie 05 12 13

Aufgabe 5.1

Es sei $\varphi \in \mathbb{R}$.
Wir definieren die folgende Abbildung $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$
$\forall \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2: f \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}cos(\varphi) & -sin(\varphi) \\ sin(\varphi) & cos(\varphi) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} cos(\varphi)x + (-sin(\varphi))y \\ sin(\varphi)x + cos(\varphi) y \end{pmatrix}$.
Beweisen Sie: $f$ ist eine lineare Abbildung.
Interpretieren Sie $f$ geometrisch.
Hilfe:

Aufgabe 5.2

Es sei $Z=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ d \end{pmatrix}$,$d \in \mathbb{R}, d > 0$

Es sei $\varepsilon$ die $x-y-$Ebene, die wir wiederum als $\mathbb{R}^2$ interpretieren. Wir bilden jedes Element des $\mathbb{R}^3$ mittels der Abbildung $ZP_Z$auf $\varepsilon$ wie folgt ab:
$\forall P=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R} \setminus Z: ZP_Z(P)=ZP\cap \varepsilon$.
Beweisen Sie: $ZP_Z$ ist linear.

Aufgabe 5.3

Geben sei $B$ eine Menge, die aus folgenden Vektoren des $\mathbb{R}3$ besteht:

$\vec{b_1}=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$, $\vec{b_2}=\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}$, $\vec{b_1}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}$

Beweisen Sie: Jedes $\vec{a}$ aus

lässt sich als Linearkombination der Vektoren der Menge $M$ darstellen.