Lösung von Aufgabe 6.9

Vorlage

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC)

Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte $\ A, B$ und $\ C$ kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.

Beweis

Es seien also $\ A, B$ und $\ C$ drei Punkte.
Voraussetzungen: koll($\ A, B$ und $\ C$)

Behauptung

es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: $\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}$	Voraussetzung
(II)	es gilt eine der drei Gleichungen: $\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$ $\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|$	(I), Axiom II/3
(III)	$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}$	(II), Def (Zwischenrelation)
(IV)	zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen Annahme: es gilt o.B.d.A. $\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ und $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$
(V)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$	(IV), (Axiom II/3)
(VI)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right|$	rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VII)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right|$	(VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(VIII)	$\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right|$	(VII), + $\left| BC \right|$
(IX)	$\ 2 \left| BC \right| = 0$	(VIII), - $\left| AB \right|$
(X)	Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind. --> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.

Eine Frage: Wenn im Satz von drei PAARWEISE VERSCHIEDENEN Punkten die Rede ist, warum lassen sie es einfach weg? Ich werde immer unsicherer was diese Spitzfindigkeiten angeht, weil nie die gleichen Regeln zu gelten scheinen und mich das ganz verrückt macht! Darf ich davon ausgehen, das wenn von drei Punkte die Rede ist, diese immer verschieden sind oder nicht? Wenn ja wieso darf ich das in diesem Fall und in anderen nicht? Wenn ich nicht davon ausgehen kann, muss das "paarweise verschieden" dabei sein, weil die Voraussetzung sonst eine ganz andere ist??? --Principella 15:45, 21. Jun. 2010 (UTC)

vorausgegangene Diskussion

Versuch I

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.
Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte $\ A, B$ und $\ C$ kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten (und umgekehrt???) .

Beweis

Es seien also $\ A, B$ und $\ C$ drei Punkte.
Voraussetzungen: koll($\ A, B$ und $\ C$)

Behauptung

$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}$	Voraussetzung
(II)	Für drei beliebige Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt: $\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.$	Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
(III)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$ $\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|$	Axiom II/3.1 Axiom II/3.2 Axiom II/3.3
(IV)
(V)

...und jetzt? --Heinzvaneugen

Ich glaube, es ist noch zu zeigen, dass genau einer zwischen den beiden anderen liegt. Habe deinen Beweis ab Schritt IV weitergeführt:

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(IV)	$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}$	Def (Zwischenrelation)
(V)	zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen Annahme: es gilt $\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ und $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$
(VI)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$	(Axiom II/3)
(VII)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right|$	rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VIII)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right|$	(VII gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(IX)	$\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right|$	(VIII), + $\left| BC \right|$
(X)	$\ 2 \left| BC \right| = 0$	(IX), - $\left| AB \right|$
(XI)	Widerspruch, da das zweifache eines Abstands nicht null ergeben kann. --> Annahme zu verwerfen, Behauptung wahr.

--Löwenzahn 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)

= Versuch II ====

Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Gerade g paarweise verschieden sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweis

Es seien also $\ A, B$ und $\ C$ drei Punkte.
Voraussetzungen:

$\ A, B$ und $\ C$ sind Punkte ein und derselben Geraden und paarweise verschieden.

Behauptung

$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}$	Voraussetzung
(II)	$\ A, B$ und $\ C$ paarweise verschieden	Voraussetzung
(III)	(1.) $\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ (2.) $\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$ (3.) $\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|$	I., Axiom II/3
(IV)	(1.)$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ (2.) $\operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \}$ (3.) $\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}$	III./(1.), III./(2.), III./(3.), Definition (Zwischenrelation)
(V)	Behauptung ist wahr

--Maude001 12:39, 5. Jun. 2010 (UTC)