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Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\ \Theta$ ($\ \Theta$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $\ E \setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $\ A,B \in E \setminus g$ gilt: $\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\ \Theta$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\ \Theta$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\ \Theta$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

• Wie kann eine Strecke AB eine Gerade g schneiden und dabei eine leere Menge ergeben? --Der Kuckuck 20:42, 24. Nov. 2013 (CET)
  • Die Schreibweise $\overline{AB}\cap g$ist eine Verknüpfung von (hier zwei) Mengen zu einer Schnittmenge. Diese kann auch leer sein. Analog: x + y heißt auch noch nicht, dass das Ergebnis positiv ist.--Tutorin Anne 10:20, 25. Nov. 2013 (CET)

zu a) Die Strecke AB schneidet die Gerade g nicht, d.h. A und B müssen auf den gleichen Halbebenen liegen
zu b) Eine Äquivalenzrelation ist sowohl reflexiv, symmetrisch als auch transitiv.
Begründung reflexiv: Alle A sind Element aus E\g
Begründung symmetrisch: Sowohl die Strecke AB als auch die Strecke BA schneiden die Gerade g nicht, da sie identisch sind
Begründung transitiv: ????
--Smartie 16:54, 26. Nov. 2013 (CET)