Lösung von Aufg. 6.5P (SoSe 14)

a) Gegeben seien drei paarweise verschiedene und nichtkollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace$

b) Was hat Aufgabe 6.5 mit Aufgabe 5.4 zu tun?

a) Direkter Beweis:

Vor. $\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\$

Beh.: $\overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace$

Nr.	Schritt	Begruendung
1	$\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \$	Voraussetzung
2.	Punkte A und B sind auf der selben Halbebene	1), Def. Halbebene
3.	$\overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace \$	Voraussetzung
4.	Punkte B und C sind auf der selben Halbebene	3), Def. Halbebene
5.	Punkte A und C sind auf der selben Halbebene, wie der Punkt B. Das heisst Punkte A und C sind auf der selben Halbebene.	2), 4)
6.	Wenn alle drei Punkte auf der selben Halbebene sind, dann schneidet weder die Strecke AB, noch BC, noch AC die Gerade g.	Schlussfolgerung aus 5)

Man koennte auch durch die Kontraposition Beweisen, das haben wir allerdings in der Vorlesung gemacht, als wir den Satz von Pasch bewiesen haben.

b) Damit haben wir die Transitivitaet bewiesen.--Picksel (Diskussion) 21:03, 15. Jun. 2014 (CEST)