Implikationen SoSe 2017

Implikationen Generelle Kennzeichnung von Implikationen Implikationen sind spezielle mathematische Aussagen, deren Typ sich kurz als wie folgt darstellen bzw. beschreiben lässt: Wenn $a$ dann $b$. Aus $a$ folgt $b$. $a$ impliziert $b$. $b$ ist eine Folgerung aus $a$. Unter der Voraussetzung, dass $a$ gilt, gilt auch $b$. $a$ ist hinreichend dafür, dass $b$ gilt. $a \Rightarrow b$ Die Aussage $a$ heißt in der Implikation $a \Rightarrow b$ Voraussetzung, die Aussage $b$ wird Behauptung genannt. Beispiele Implikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3 Wenn die Quersumme $\overline{a}$einer natürlichen Zahl $a$ durch $3$ teilbar ist, dann ist auch die Zahl $a$ durch $3$ teilbar. In Formelsprache: $\forall a \in \mathbb{N}: 3|\overline{a} \Rightarrow 3|a$ Voraussetzung: $3|\overline{a}$ Behauptung: $3|a$ Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen Für alle natürlichen Zahlen $a,b,t$ gilt: Wenn $t$ die Zahlen $a$ und $b$ teilt, dann teilt $t$ auch die Summe $a+b$. In Formelsprache: $\forall a,b,t \in \mathbb{N}:$ $t|a \land t|b \Rightarrow t|(a+b)$ Voraussetzung: Wir haben zwei Voraussetzungen die durch das logische und zu einer Voraussetzung zusammengefasst werden: V1: $t|a$ V2: $t|b$ V: $t|a \land t|b$ Behauptung: $t|(a+b)$ Implikation 3: Nebenwinkelsatz Wenn $\alpha$ und $\beta$ Nebenwinkel sind, dann ist die Summe ihrer Größen $180^\circ$ In anderer Formulierung ohne wenn-dann: Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^\circ$ Voraussetzung: $\alpha$ und $\beta$ sind Nebenwinkel Behauptung: $\alpha$ und $\beta$ sind supplementär. Implikation 4: Scheitelwinkelsatz Wenn die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ Scheitelwinkel sind, dann haben sie dieselbe Größe. alternative Formulierung ohne wenn-dann: Scheitelwinkel haben dieselbe Größe. oder Scheitelwinkel sind kongruent zueinander. Voraussetzung $\alpha$ und $\beta$ sind Scheitelwinkel Behauptung $|\alpha|=|\beta|$ bzw. $\alpha \cong \beta$ Implikation 5: Nonsens Wenn die Gerade $g$ durch keinen der Eckpunkte des Dreiecks $\overline{ABC}$ geht und jede der drei Seiten $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{AC}$ geht, dann ist $\sqrt{2}$ eine rationale Zahl. Voraussetzung: $\text{nkoll}(A,B,C) \land A,B,C \not\in g \land g \cap \overline{AB} \not= \empty \land g \cap \overline{BC} \not= \empty \land g \cap \overline{AC} \not= \empty$ Behauptung: $\exist n,m \in \mathbb{N}: \frac{n}{m} = \sqrt{2}$