Definitionen
Definition 1: (Algebraische Struktur)
Eine Menge zusammen mit einer Operation oder Relation auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur.
Schreibweise:
bzw
Definition 2: (Halbgruppe)
Eine algebraische Struktur heißt Halbgruppe, wenn
auf abgeschlossen und assoziativ ist.
D.h. es gilt:
- (Abgeschlossenheit)
- (Assoziativität)
.
Definition 3: (Monoid)
Eine Halbgruppe heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:
- (Einselement)
Definition 4: (Gruppe)
Ein Monoid heißt Gruppe, wenn jedes Element von in ein inverses Element bzgl. hat:
- (inverse Elemente)
Definition 5: (Abelsche Gruppe)
Wenn in einer Gruppe für alle Gruppenelemente und gilt, dann heißt kommutative oder abelsche Gruppe.
Bemerkungen
Additiv geschriebene Gruppen
Unsere bisherigen Definitionen waren in gewisser Weise "multiplikativ" geschrieben. Bezieht man sich auf eine Struktur mit einer Operation, die eher "additiv" zu verstehen ist, spricht man häufig vom neutralen Element und schreibt die die Inversen als .
Wir geben im Folgenden die Langfassung einer Gruppendefinition, die additiv geschrieben ist und sich nicht auf bereits definierte Strukturen stützt.
Definition 4*: (Gruppe, Langfassung)
Eine nichtleere Menge zusammen mit einer Verknüpfung heißt Gruppe, wenn gilt:
-
ist abgeschlossen auf :
-
ist assoziativ auf :
- Es gibt in
bzgl. ein neutrales Element :
- Jedes Element aus
hat in ein inverses Element bzgl. : .
|