Gruppendefinition (kurz)

Linksinvers gleich Rechtsinvers Satz 1 Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. $\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c$ Beweis von Satz 1 Es sei $b$ das Linksinverse bzgl. $\odot$ von $a$. Wir multiplizieren $b$ von rechts mit $a$: (I) $a \odot b = e \odot a \odot b$ (Wir haben $a$ mit $b$ von rechts multipliziert (II) $a \odot b = (b^{-1} \odot b)\odot a \odot b$ (Auch $b$ hat ein Linksinverses $b^{-1}$ (III) $a \odot b = b^{-1} \odot (b\odot a) \odot b$ (Assoziativität) (IV) $a \odot b = b^{-1} \odot e \odot b$ ($b$ ist das Linksinverse von $a$) (V) $a \odot b = b^{-1} \odot b$ (Eigenschaften des Einselements) (VI) $a \odot b = e$ ($b^{-1}$ ist das Linksinverse von $b$ Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von $a$ auch Rechtsinverses von $a$ ist. Linkseins gleich Rechtseins Satz 2 Es sei $[G, \otimes]$ eine Gruppe. Wenn $e \in G$ von links multipliziert Einselement von $[G, \otimes]$ ist, dann ist $e$ auch von rechts multipliziert Einselement von $G$. Beweis von Satz 2 Es sei $[G, \otimes]$ Gruppe. Es gelte ferner für das Element $e \in G$ die folgende Eigenschaft: $\forall g \in G: e \otimes g = g$. Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch $g \otimes e = g$ für alle $g$ aus $G$ gilt. Wir gehen von $(I) e \otimes g = g$. In Gleichung $(I)$ multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit $g^{-1}\otimes g$ und erhalten $(II)$. $(II) e \otimes g \otimes (g^{-1}\otimes g) = g \otimes (g^{-1}\otimes g)$. Aus $(II)$ folgt: $(III) e \otimes g = g \otimes e$ q,e.d.