Aufgabe 2.1
Gegeben sei .
Bestimmen Sie derart, dass eine Gruppe ist. Die Operation ist dabei als die normale Matrizenmultiplikation zu verstehen.
Hilfe: Öffnen Sie Geogebra. Sie können in Geogebra Matrizen eingeben. Die Matrix
![M=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{pmatrix}](/images/math/2/c/3/2c3a7098149684f5e1b5ff3341579bac.png) geben Sie z.B. wie folgt ein:
.
Geben Sie jetzt die Koordinaten eines beliebigen Punktes wie etwa ein. Lassen Sie nun berechnen. Es wird eine Bildpunkt von berechnet ... .
Aufgabe 2.2
Bestimmen Sie die Verknüpfungstafel der Gruppe (Restklassen modulo 3, mit Restklassenadddition). Vergleichen Sie mit der Gruppentafel aus Aufgabe 2.1.
Aufgabe 2.3
Es sei eine Gruppe mit dem Einselement .
Beweisen Sie muss das Inverse von und muss das Inverse von sein.
Was haben Sie mit diesem Beweis gleichzeitig bewiesen?
Aufgabe 2.4
Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleicheit gibt es zwei und nur zwei verschiedene vierelementige Gruppen.
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