Lösung von Aufgabe 5.6 P (SoSe 18)
Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation ( ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige gilt: .
a) Beschreiben Sie die Relation verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.
Lösung:
a) Es existiert eine Relation zwischen zwei Punkten, entweder oberhalb der Geraden g oder unterhalb der Geraden g. Diese ist reflexiv und symmetrisch. Aus der Aufgabe b entnehmen ich, dass diese Relation ebenfalls transitiv ist. Dies können wir wenn wir einen Dritten Punkt hätten mit dem Satz von Peach begründen.
b) Reflexiv: Allquantor A,B sind Element von gA+ : A=B und B=A
Symmetrisch:
Transitiv:
/goldxyz/