19)

Beweisen Sie Satz IX.2:
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden a und b mit einem gemeinsamen Schnittpunkt S, sowie zwei Punkten $A\in a$ und $B\in b$, die von S jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung $S_{a}\circ S_{b}$. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt $P''=S_{a}\circ S_{b}(P)$ gilt: $\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|$.

Vor: P"= S_a$\circ$S_b(P). Beh: |<(PSP)|= 2|<(ASB)|
1.) S_a(P) = P' und S_b(P') = P" - Vor., Verkettung von Geradenspiegelung
2.) $|\angle PSA| = |\angle P'SA|$ - 1.) Winkelmaßerhaltung
3.) $|\angle P'SB| = |\angle P''SB|$ - 1.) Winkelmaßerhaltung
4.) $|\angle PSP'| = |\angle PSA|+|\angle ASP'| = 2|\angle PSA|$ - 2.), Winkeladdition
5.) $|\angle P'SP''| = |\angle P'SB|+|\angle BSP''| = 2\angle P''SB|$ - 3.), Winkeladdition
6.) $|\angle PSP''| = |\angle PSP'|+|\angle P'SP''|$ - Winkeladdition
7.) $|\angle PSP''| = 2|\angle PSA|+ 2|\angle P''SB|$ - 4.), 5.), 6.)
8.) $|\angle PSP''| = 2( |\angle ASP'|+|\angle P'SB|$ ) - 7.), Distributivgesetz
9.) $|\angle PSP''| = 2( |\angle ASB| )$ - 8.) Winkeladdition
=> $|\angle PSP''|= 2|\angle ASB|$. Die Behauptung ist damit bewiesen.--CIG UA (Diskussion) 21:35, 20. Dez. 2018 (CET)