Lösung von Zusatzaufg. 7.2P (SoSe 22)

Beweisen Sie: Halbebenen sind konvexe Punktmengen.
ich stütze mich bei dem Beweis einmal auf die Definition der offene Halbebene und dann auf die Definition der geschlossenen Halbebene

Beweis für die offene Halbebene, dass diese eine konvexe Punktmenge ist Vor: Halbebene gP+ ist offen Beh: Halbebene gP+ ist konvex

Beweis: 1. ich nehme eine Punkt P der in der offenen Halbebene gP+ liegt, Begründung: Definition Halbebene

       2. ich nehme einen Punkt Q der ebenfalls in gP+ liegt,  Begründung: Definition Halbebene
       3. Strecke QP geschnitten Gerade g ergibt leere Menge,  Begründung: Definition offene Halbebene, Voraussetzung, wegen 2.
       4. ich nehme einen weiteren Punkt R in gP+, der kolinear zu Q und P ist, Begründung: offene Halbebene, Voraussetzung, wegen 3.
       5. Strecke RP und QP geschnitten mit g ergibt leere Menge, Begründung: offene Halbebene, Voraussetzung, wegen 4.
       6. alle Punkte auf der Strecke QP gehören zu gP+, Begründung: wegen 2.,3.,4. 5.
       7. gP+ ist konvex, Begründung: wegen 6.

Beweis für die geschlossene Halbebene, dass diese ebenfalls eine konvexe Punktmenge ist Vor: Trägergerade g vereint mit gP+ ergibt geschlossene Halbebene Beh: geschlossene Halbebene ist konvex

Beweis: 1. es liegen zwei Punkte auf der Trägergeraden g: A und B, Begründung: Definition Gerade

       2. Punkte A und B sind jeweils die Schnittpunkte der Trägergeraden mit der Halbebene, Begründung: Definition Halbebene, Voraussetzung
       3. Strecke AB liegt komplett in der Halbebene, Begründung:wegen 2., Voraussetzung, Definition (geschlossene) Halbebene
       4. Strecke AB gehört zu gP+, Begründung: wegen 2., 3. Definition (geschlossene) Halbebene
       5. geschlossene Halbebene ist konvex, Begründung: wegen 2., 3., 4. udn wegen Beweis offener Halbebene--Kwd077 (Diskussion) 16:59, 2. Jun. 2022 (CEST)