Lösung von Aufg. 6.6

Satz II: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden.

Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.

Lösung --Schnirch 13:47, 2. Dez. 2010 (UTC)

Die nachfolgenden Lösungsvorschläge sind korrekt, wenn sie davon ausgehen, dass es unter vier nicht komplanaren Punkten keine drei gibt, die kollinear sind. Dies wurde bei allen Lösungen vorausgesetzt, müsste aber natürlich noch gezeigt werden. An dieser Stelle verweise ich auf die Aufgabe 7.3. Da werden wir diese Lücke schließen.--Schnirch 13:47, 2. Dez. 2010 (UTC)

vorangegangene Lösungsvorschläge

1. Wenn A, B, C und D nicht kommplanar sind, dann sind die Punkte paarweise verschieden

2.

   Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht kommplanar

   Behauptung: A,B,C,D sind paarweise verschieden

   Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D

• Wie kommt man auf C=D? Kann das leider nicht wirklich nachvollziehen

--> da wir annehmen, dass die vier Punkte nicht paarweise verschieden sind, bedeutet das, dass 2 Punkte identisch sind. Da es aber egal ist, wlche zwei Punkte das sind, nehmen wir hier einfach C=D an, schreiben aber hinzu: ohne Beschränkung der Allgemeinheit (oBdA)--DeFloGe 13:06, 23. Nov. 2010 (UTC)

     Beweisschritt                                     Begründung

   1. Es existierte genau eine Gerade g                Axiom I/1

      die die Punkte A und B enthält

   2. Es existiert ein Punkt C außerhalb von g         Axiom I/3

   3. A,B C sind nicht kollinear                       1), 2)

   4. Es existiert eine Ebene E die A,B C enthält      Axiom I/4

   5. C = D                                            Annahme

   6. D ist Element der Ebene E                        5)

   7. A,B,C,D sind komplanar                           4), 6)

    Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.

Vor. nkomp(A,B,C,D)
Beh. A,B,C,D sind paarweise verschieden
Ann. oBdA A=B

Beweisschritt [Begründung]
1. A=B [Annahme]
2. Es existiert eine Ebene E, die A,C,D enthält. [Axiom I/4]
3. A,B,C,D liegen in der Ebene. [1), 2)]
4. komp(A,B,C,D) [3), Definition komplanar]
5. Widerspruch zur Voraussetzung. --Pünktchen 14:22, 26. Nov. 2010 (UTC)

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Vor. nkomp(A,B,C,D)
Beh. A,B,C,D sind paarweise verschieden
Ann. oBdA A=B

Beweisschritt [Begründung]
1. A=B [Annahme]
2. Es existiert eine Gerade g, die A,C enthält. [Axiom I/1]
3. koll(A,C) [2), Definition kollinear]
4. koll(A,B,C) [3),1)]
5. Es existiert ein Punkt D, sodass nkoll(A,B,C,D) [4),Definition nichtkollinear]
6. Es existiert eine Ebene E, die A,B,C,D enthält. [5), Axiom I/4]
7. komp(A,B,C,D) [6), Definition komplanar]
8. Widerspruch zur Voraussetzung. --Jbo-sax 14:21, 26. Nov. 2010 (UTC)

3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar

4.

   Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D

   Behauptung: A,B,C,D sind komplanar
    
   Wenn A,B,C drei nicht kollineare Punkte sind, dann existiert nach Axiom I/4 genau eine Ebene E die die drei Punkte A,B,C   
  enthält. Da C= D nach Vorausetzung gegeben ist, sind A,B,C,D in einer Ebene und somit komplanar

5. Wenn A,B,C,D paarweise verschieden sind, dann sind die vier Punkte nicht komplanar
--Sommer80 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC)
6. Die Umkehrung stimmt nicht, da alle vier Punkte paarweise verschieden sein können, aber trotzdem Element der Ebene sind.--Engel82 13:04, 17. Nov. 2010 (UTC)