Sätze und Beweise SoSe 11

Aufbau eines mathematischen Satzes

Im einführenden Beispiel haben wir bereits einen mathematischen Satz, den so genannten Wechselwinkelsatz kennengelernt.
Wechselwinkelsatz:
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen parallelen Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine Voraussetzung (A) und eine Behauptung (B) aufteilen.
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein.
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun:
formal: $\ A \Rightarrow B$

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung:
formal:$\ B \Rightarrow A$

Aufgabe: Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:

Wenn zwei Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die geschnittenen Geraden parallel zueinander.

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: $\ A \Leftrightarrow B$

Aufgabe: Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:

Zwei Winkel sind genau dann Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen, wenn sie kongruent zueinander sind.

notwendige und hinreichende Bedingung

An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: hinreichende und notwendige Bedingung
Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern:
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell.
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)$\Rightarrow$ Behauptung (Das Zimmer ist hell).
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell.
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu.
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung.
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes Kriterium (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

Beweise

Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden.
Grundsätzlich unterscheidet man direkte von indirekten Beweisen. Außerdem gibt es noch so genannte Induktionsbeweise (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip).

Direkter Beweis
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.:
$\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B$

Indirekter Beweis
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man Widerspruchsbeweise (1) von Beweisen durch Kontraposition (2).

1. Widerspruchsbeweis:
   Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz).
   (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
2. Beweis durch Kontraposition:
   Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus:
   $\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)$
   (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
   Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen.
   
   

Aufgabe: Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.

Nicht kongruente Wechselwinkel liegen nicht an geschnittenen Parallelen oder besser: Wechselwinkel die nicht kongruent sind liegen nicht an geschnittenen Parallelen?