Zu den Lösungsversuchen

Aufgabe 3.1

(alles in ein und derselben Ebene) Es sei $k$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$. Ferner sei $g$ eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei $Z$ der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in $M$ auf $g$ mit $k$. Wir definieren eine Abbildung $\varphi$ von $k\setminus_Z$ auf $g$: $\forall P \in k\setminus_Z: \varphi(P)=ZP \cap g$. Ist $\varphi$ fixpunktfrei?

Es scheint sich daraufhin herauszulaufen, dass die Schnittpunkte A und B aus $\ g \cap k$ Fixpunkte bzgl. $\varphi$ sind. --Flo60 16:58, 13. Nov. 2011 (CET)

Aufgabe 3.2

Es sei $X=\left\{ (x,0)|x\in \mathbb{R} \right\}$. Wir definieren auf $X$ die folgende Abbildung $\varphi$: $\forall (x,0) \in X: \varphi((x,0))=(x, \sin^2x)$. Jedes Element des $\mathbb{R}^2$ fassen wir als Punkt auf. Hat $\varphi$ Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft)
Also auch hier sieht es so aus, als hätten $\varphi$ eine unendliche Anzahl von Fixpunkten oder anders ausgedrückt: sin(x) besitzt bzgl. $(sin(x))^2$ identische Werte für alle $(x,0) \in X$.
Allerdings habe ich mich persönlich in meinem Leben bisher wenig mit Sinusfunktionen auseinandergesetzt (kurz auf der Realschule um am Dreieck herumzurechnen). Und einfach nur Funktionen im Geogebra eingeben ist auch nicht so der Renner, wenn man nicht weiß, woher sie kommen. Vielleicht kann mal jemand eine Applikation einstellen, die den ganzen Spaß verdeutlicht - dann braucht man nicht lange in der Literatur herumzusuchen.

--Flo60 17:21, 13. Nov. 2011 (CET)

Aufgabe 3.3

Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms $B$ mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel $P$hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten $\left(x_p, y_p\right)$. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms $B$ die folgende Abbildung $\varphi$: $\forall P \in B: \varphi(P)=\left(\operatorname zufallsbereich(0;1920),\operatorname zufallsbereich(0;1080)\right)$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $\varphi$ einen Fixpunkt hat?

Aufgabe 3.4

Beweisen Sie: wenn eine Bewegung $\varphi$ zwei verschiedene Fixpunkte $A$ und $B$ hat, dann hat ist die Gerade $AB$ eine Fixpunktgerade bezüglich $\varphi$.

VSS: Es exisitert eine Bewegung $\varphi$ mit den Fixpunkten $A$ und $B$. Beh.: $AB$ ist Fixpunktgerade bezüglich $\varphi$.

oBdA: Es sei ein Punkt $P$: $Zw(A,P,B)$

1	2
Nr.	Beschreibung des Schrittes	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	$|AP|+|PB|=|AB|$	gilt, wegen der Relation zwischen.
2.	$|A'P'|+|P'B'|=|A'B'|$	Relation zwischen bleibt nach der Ausführung der Bewegung erhalten.
3.	$|PP'|= 0$ --> P=P'	folgt aus (1.) und (2.) und der Vss, dass A und B Fixpunkte sind.

Deshalb wird auch Punkt P bei der Bewegung auf sich selbst abgebildet.

(Ich bin mir nicht sicher, ob ich alles bedacht habe, vielleicht kann noch jemand was dazu sagen/korrigieren. Warum bei der Tabelle über der Spaltenbeschriftung noch 1. und 2. steht ist mir auch schleierhaft.) Pipi Langsocke 12:05, 10. Nov. 2011 (CET)

Aufgabe 3.5

Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte $A,B,C$ Fixpunkte der Bewegung $\varphi$ sind, so ist $\varphi$ die identische Abbildung.