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Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)

Die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_b \circ S_a$ mit $a || b$ heißt Verschiebung.

Eigenschaften von Verschiebungen

Die identische Abbildung als Verschiebung

Satz: ($\operatorname{id}$ als Verschiebung)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung.

Wenn $a||b$ dann $V=\operatorname{id}$.

Beweis ($\operatorname{id}$ als Verschiebung)

Folgt unmittelbar daraus, dass jede Geradenspiegelung selbstinvers ist.

Bringen Sie die beiden Spiegelgeraden miteinander zur Deckung.

Parallelität

Satz: (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung. Für jede Gerade $g$ und ihr Bild $g'$ bei $V$ gilt: $g||g'$.

Beweis (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei $V=S_ \circ S_a$ eine Verschiebung ($a||b$. Ferner sei $g$ eine beliebige Gerade.

zu zeigen: $S_b \left( S_a \left(g\right) \right)=g' || g$

Fall 1 $g \cap a = \{S_1\}$

1. Die Gerade $g$ möge also mit der Spiegelachse $a$ genau den Punkt $S_1$ gemeinsam haben. Mit $\alpha$ sei der Winkel zwischen den Geraden $a$ und $g$ bezeichnet.
2. Weil der Punkt $S_1$ zu $a$ gehört ist er bei $S_a$ ein Fixpunkt.
3. Weil $S_1$ der einzige Punkt ist, den $g$ mit $a$ gemeinsam hat, ist $S_1$ der einzige zu $g$ gehörige Fixpunkt bei $S_a$
4. Mit $g^*$ sei das Bild von $g$ bei der Spiegelung an $a$ bezeichnet.
5. Der Winkel zwischen $g^*$ und $a$ sei mit $\alpha^*$ bezeichnet.
6. Das Zwischenbild $g^*$ kann nicht parallel zu $b$ sein.
7. Dementsprechend hat $g^*$ mit $b$ genau einen Punkt gemeinsam. Wir bezeichnen ihn mit $S_2$.
8. Der Winkel zwischen $g^*$ und $b$ sei mit $\beta$ bezeichnet.
9. Als Punkt der Geraden $b$ ist $S_2$ Fixpunkt bei $S_b$.
10. Weil $S_2$ der einzige Punkt ist, den $g^*$ mit $b$ gemeinsam hat, ist $S_2$ der einzige zu $g^*$ gehörige Fixpunkt bei $S_b$.
11. Das Bild von $g^*$ bei der Spiegelung an $b$ sei mit $g^{**}$ bezeichnet. Es ist identisch mit dem Bild $g'$von $g$ bei der Verschiebung $S_b \circ S_a$.
12. Der Winkel zwischen $g'$ und $b$ sei mit $\beta^*$ bezeichnet.

Aufgabe:

Begründen Sie 6.

Verschiebungsweite

Satz: (über die Verschiebungsweite)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung $V$. Für jedes Paar (Originalpunkt $P$, Bildpunkt$P'$ bei $V$) gilt: $|PP'| = 2|ab|$.