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Es seien $\ A, B, C$ drei paarweise verschiedene Punkte mit

(*) $\operatorname{Zw}(A, B, C)$.

zu zeigen:

(**) $\operatorname{Zw}(A', B', C')$

Wir übersetzen zunächst (*):

$\ |AB| + |BC| = |AC|$

entsprechend (**) haben wir zu zeigen, dass $\ |A'B'| + |B'C'| = |A'C'|$ gilt.

Den Rest können Sie alleine ... .

$Beweis:$
$d( \beta (A), \beta(B)) = d ( A, B)\ (*)$
$d( \beta (B), \beta(C)) = d ( B, C)\ (**)$
$d( \beta (A), \beta(C)) = d ( A, C)\ (***)$

$Aus \ (*),(**), (***) \ und\ der\ Definition\ der\ ZW\ Relation\ ergibt\ sich\ die\ Gleichheit.$