Reduktionssatz: Jede Bewegung ist die NAF von zwei oder drei Geradenspiegelungen
Aus Geometrie-Wiki
Version vom 24. November 2011, 14:45 Uhr von *m.g.* (Diskussion | Beiträge)
Inhaltsverzeichnis |
Drei nicht kollineare Punkte reichen aus
Satz:
- Jede Bewegung ist durch drei nicht kollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt.
Der Reduktionssatz
Satz: Reduktionssatz
- Jede Bewegung ist die Nacheinanderausführung von zwei oder drei Geradenspiegelungen.
Beweis
Es seien drei nicht kollineare Punkte und eine Bewegung.
seien die Bilder von bei
Fall 1
Fall 2
o.B.d.A.
Wo muss C`liegen
muss auf dem Kreis um durch liegen.
Begründung: Bewegungen sind abstandserhaltend.
muss auf dem Kreis um durch liegen.
Begründung: Bewegungen sind abstandserhaltend.
liegt damit in der Schnittmenge der beiden Kreise.
Warum wird durch eine Spiegelung an auf abgebildet?
Es genügt zu zeigen, dass die Mittelsenkrechte von ist.
ist die Mittelsenkrechte von weil
und .
Fall 3
o.B.d.A.
Spiegelung an der Mittelsenkrechten von führt auf Fall 2 zurück.
Fall 4
Fall 4.1
Umlaufsinn bleibt erhalten