Jede Abbildung ist durch drei nichtkollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt - eine Diskussion

Vorbemerkung

Rein aus Erfahrung zeigt sich (leider), dass sich wohl auch in diese Diskussion nur wenige, bis gar keine Studis einbringen. Daher mein Appell: Einbringen :-) - nur so zum Spass um auch mal über andere Dinge zu diskutieren!

Was gibt es denn zu diskutieren?

Wir haben zur Erarbeitung des Reduktionssatzes die Gültigkeit des folgenden Satzes gezeigt:

Jede Bewegung ist durch drei nichtkollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt.

Nun stellt sich die Frage: Gilt das auch für Abbildungen allgemein?

Zunächst denke ich kann man das nicht pauschalisieren, denn eine Abbildung muss ja nur linkstotal und rechtseindeutig sein, d. h. wenn meine Abbildung derart bestimmt ist, dass ich drei Punkte A, B, C habe und diese nach gut dünken derart auf die Ebene 'regnen' lasse, dass jedes Urbild ein Bild hat, dann ist das auch eine (sehr willkürliche) Abbildung.

Für welche Abbildungen gilt es denn dann?

Abbildung	Gültigkeit (ja/nein)?	Siehe Beweis
'geregnete Abbildung'	Keine Gültigkeit	siehe Einleitung
Alle Bewegungen	Gültigkeit	siehe Folien Reduktionssatz
Alle NAF von Bewegungen	Gültigkeit	NAF von Bewegung ist auch Bewegung
zentrische Streckung	Gültigkeit	siehe ZS-Beweis unten
5	5	5

Beweis zur Zentrischen Streckung (ZS-Beweis)

Vorüberlegung:

Ganz offensichtlich wird dieser Beweis derart ablaufen, dass das Streckzentrum durch zwei sich schneidende Geraden ermittelt wird. Benötigen wir also noch drei Punkte oder reichen zwei und deren Bilder? Für den Fall, dass wir lediglich zwei Punkte A und B und deren Bilder A' und B' betrachten, kann es sein, dass gilt: koll(Z, A, B). Der Beweis wäre dann nicht durchführbar! Wir brauchen also drei nichtkollineare Punkte und deren Bilder.

Beweis

Ebene Geometrie. Seien A, B und C drei nichtkollineare Punkte und A', B', C' deren Bilder bei der zentrischen Streckung $ZS_Z,_k$ mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k. Behauptung: Für alle Punkte der Ebene ist die Abbildung eindeutig bestimmt. Beweis erneut durch Widerspruch; Annahme: Es existiert ein Punkt D mit $ZS_Z,_k(D)$ = D' und D* und D' $\neq$ D*.

Überschrift 1	Überschrift 2
1	Es existieren die Geraden AA', BB' und CC'	Inzidenzaxiom I.1 :-)
2	Wegen nkoll(A, B, C) schneiden sich wenigstens zwei dieser Geraden im Punkt Z	Definition zentrische Streckung, Voraussetzung, (1)
3	Nach Definition zentrischer Streckung gilt: koll(Z, D, D', D*)	(2), Indidenzaxiom I.1 (Z und D liegen auf einer Gerade)
4	k = $\frac{|ZA'|} {|ZA|} = \frac{|ZB'|} {|ZB|} = \frac{|ZC'|} {|ZC|}$	Voraussetzung, Definition zentrische Streckung
5	Es gilt: $|Z ZS_Z,_k(D)| = |ZD|*k$	(4), Definition zentrische Streckung
6	Nach dem Axiom vom Lineal gibt es auf einem Strahl genau einen Punkt mit dem Abstand $|ZD|*k$ - da wir unsere zentrische Streckung mit einem gerichteten Vektor definiert haben, kann es keine zwei Punkte auf einem Strahl geben für den dieser Abstand gilt.

Das geht wohl auch einfacher. Interessant vor allem der Aspekt, dass ich den gerichteten Vektor benötige. Hätten wir zentrische Streckung anders definiert, hätte ich ein Problem und könnte den Beweis gar nicht führen! --Flo60 16:49, 26. Mai 2012 (CEST)