Lösung von Zusatzaufgabe 5.2 P (SoSe 12)

Beweisen Sie: Ist O ein beliebiger Punkt einer Geraden g und A ein weiterer (von O verschiedener) Punkt dieser Geraden, so gilt für die Halbgeraden $\ OA^{+}$ und $\ OA^{-}$ :
a)$\ OA^{+} \cap \ OA^{-}=\{O\}$ und
b)$\ OA^{+} \cup \ OA^{-}=g$

a)$\ OA^{+} \cap \ OA^{-}=\{O\}$

$\ OA^{+}= \{P|(Zw) (O, P, A)\} \cup \{P|(Zw) (O, A, P)\} \cup \{O\} \cup \{A\}$
$\ OA^{-}= \{P|(Zw) (P, O, A)\} \cup \{O\}$
in der schnittmenge gibt es nur ein gemeinsames element: "o"

• es ist noch zu beweisen, dass keine weiteren Punkte außer O in der Schnittmenge liegen. Dies lässt sich am einfachsten indirekt beweisen.--Tutorin Anne 17:13, 27. Mai 2012 (CEST)

b)$\ OA^{+} \cup \ OA^{-}=g$

$\ OA^{+}= \{P|(Zw) (O, P, A)\} \cup \{P|(Zw) (O, A, P)\} \cup \{O\} \cup \{A\}$
$\ OA^{-}= \{P|(Zw) (P, O, A)\} \cup \{O\}$
in der vereinigungsmenge ist die gerade g, da in der vereinigungsmenge sowohl die punkte a und o, als auch alle punkte zw (a,o,p), zw (p,o,a), zw (o,p,a) enthalten sind.
--Studentin 16:35, 27. Mai 2012 (CEST)