Lösung von Zusatzaufgabe 8.4 S

Voraussetzung:
(V1) $A\neq B\neq Q\neq A$
(V2) $\operatorname{nkoll}(A, B, C)$
(V3) Gerade g
(V4) $A, B \in \ gQ^{+} \setminus g$
Behauptung:
$\overline{AB} \cap g = \emptyset$
Beweis folgt..
--Tchu Tcha Tcha 19:22, 15. Jun. 2012 (CEST)

Beweis durch Widerspruch:
Annahme: $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset$
Beweis:
1) $\operatorname{nkoll}(A, B, C)$ (Voraussetzung)
2) Es existiert ein Dreieck $\overline{ABQ}$ (1))
3) $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset$ (Annahme)
4) ( $\overline{AQ} \cap g = \emptyset$ und $\overline{BQ} \cap g \neq \emptyset$)

  oder

  ( $\overline{BQ}  \cap g = \emptyset$ und $\overline{AQ}  \cap g \neq \emptyset$)  (3), Axiom von Pasch)

5) Widerspruch zur Voraussetzung:

   $\overline{AQ}  \cap g = \emptyset$ und $\overline{BQ}  \cap g = \emptyset$  (4), Vor: $A, B \in \ gQ^{+} \setminus g$ )

Behauptung folgt ! $\overline{AB} \cap g = \emptyset$