Lösung von Zusatzaufgabe 8.3 S

z.z. offene HE sind konvexe Punktmengen

Vor: offene HE gP⁺

Beh: gP⁺

direkter Beweis:

(1) Q sei ein beliebiger weiterer Pkt, der mit P in der offenen Halbebene gP⁺ liegt

(2) Es gilt dann: Strecke QP geschnitten mit g = {}; Begründung: Def. Halbebene

(3) dann muss folglich für die Punktmenge R Element der Strecke QP gelten, dass diese mit g geschnitten auch = {}; Begründung: (2)

(4) Alle Punkte auf der Strecke QP gehören zur offenen Halbebene gP⁺; Begründung: (3)

(5) gP⁺ ist konvex; Begrüundung: (4)

q.e.d.

Es müssten jedoch noch weitere 2 Fälle betrachtet werden:

1. Dass die 2 Punkte A und B der Punktmenge auf der Trägergerade g liegen -> Strecke AB liegt vollständig in g und gehört somit auch zur HE gP⁺.

2. Dass ein Punkt A auf der Trägergeraden g liegt und ein Punkt B jedoch in der offenen HE gP⁺ liegt. -> Hierzu teilen wir die Strecke AB in die Strecke AB ohne A und dem Punkt A auf. Die Strecke AB ohne A hat keinen Schnittpunkt mit g und A gehört zu g und somit auch zur HE gP⁺--Sissy66 00:09, 18. Jun. 2012 (CEST)