Lösung von Aufgabe 9.5 S

Satz:
Es sei $\ SW^{+}$ die Winkelhalbierende des Winkels $\angle ASB$. Dann gilt:
$\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right| = \frac{1}{2} \left|\angle ASB\right|$

Beweisen Sie den Satz.

Skizze:

Voraussetzung 1: $\angle ASB$
Voraussetzung 2: $\ SW^{+}$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $\angle ASB$
Behauptung: $\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right| = \frac{1}{2} \left|\angle ASB\right|$

(1) Da nach Vor. $\ SW^{+}$ die Winkelhalbierende des Winkels $\angle ASB$ ist, gilt: $\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right|$
(2) Nach Vor. und Def. Winkelhalbierende muss W im Inneren des Winkels $\angle ASB$ liegen.
(3) Nun wissen wir nach dem Winkeladditionsaxiom und (1), dass gelten muss: $\left| \angle ASW \right| + \left| \angle WSB \right| = \left| \angle ASB \right|$.
(4) Nach (1) können wir (3) auch folgendermaßen schreiben: $\left| \angle ASW \right| + \left| \angle ASW \right| = \left| \angle ASB \right|$.
(5) Nach (4) und Rechnen in R folgt: $2 \left| \angle ASW \right| = \left| \angle ASB \right|$.
(6) Nach (5),(1) und Rechnen in R folgt: $\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right| = \frac{1}{2} \left|\angle ASB\right|$
Behauptung stimmt.
qed --Tchu Tcha Tcha 18:57, 20. Jun. 2012 (CEST)