Serie 05 12 13

Aufgabe 01

Es sei $\varphi \in \mathbb{R}$.
Wir definieren die folgende Abbildung $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$
$\forall \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2: f \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}cos(\varphi) & -sin(\varphi) \\ sin(\varphi) & cos(\varphi) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} cos(\varphi)x + (-sin(\varphi))y \\ sin(\varphi)x + cos(\varphi) y \end{pmatrix}$.
Beweisen Sie: $f$ ist eine lineare Abbildung.