Winkelmessung

Winkelmessung

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke	Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl	reelle Zahl zwischen 0 und 180

Das Winkelmaßaxiom

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $\ \alpha$ gibt es genau eine reelle Zahl $\ \omega$ zwischen 0 und 180.

Definition V.4: (Größe eines Winkels)

Die Zahl $\ \omega$, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $\ \alpha$ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von $\ \alpha$ genannt.
In Zeichen: $\omega = \left| \alpha \right|$.

Winkelkonstruktion

Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $\ g \equiv SA$ eine Gerade in der Ebene $\ \Epsilon$. Zu jedem Winkel $\ \alpha$ gibt es in jeder der beiden durch $\ g$ bestimmten Halbebenen der Ebene $\ \Epsilon$ genau einen Strahl $\ SB^+$ mit $\ \left| \alpha \right| = \left| \angle ASB \right|$

Winkeladdition

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt $\ P$ zum Inneren des Winkels $\ \angle ASB$ gehört , dann gilt $\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|$.

Satz V.2

Wenn der Punkt $\ P$ im Inneren des Winkels $\ \angle ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\ \angle ASP$ und $\ \angle PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\ \angle ASB$.

Rechte Winkel

Definition V.5 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition V.6 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel, deren Größen zusammen 180 ergeben, sind supplementär.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Satz V. : (Existenz von rechten Winkeln)

Es gibt rechte Winkel.

Beweis von Satz V. :

Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.
Nach Definition V.5 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat. Das Axiom