Serie 12 (WS 12 13)

Aufgabe 12.01

Auf einem Blatt Papier sei eine Strecke $\overline{AB}$ gegeben. Die Schüler falten das Blatt so, dass $A$ mit $B$ zur Deckung kommt. Was ist die Faltgerade bezüglich der Strecke $\overline{AB}$. Begründen Sie ihre Antwort. Begründen ist im Sinne von Plausibilitätserklärungen zu verstehen, ein echter Beweis ist im Rahmen der Einführung in die Geometrie nicht möglich.)

Aufgabe 12.02

Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.
Dass sich zwei Mittelsenkrechten eines Dreieck in genau einem Punkt schneiden dürfen Sie voraussetzen.

Aufgabe 12.03

In der vorangegangenen Übungsserie haben wir zwei Aufgaben zu Winkelhalbierenden gelöst. Diese Aufgaben bilden die Grundlage für ein Winkelhalbierendenkriterium. Ergänzen Sie dieses:
Ein Punkt P gehört genau dann zur Winkelhalbierenden eines Winkels $\alpha$, wenn ...

Aufgabe 12.04

Beweisen Sie: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sie in genau einem Punkt.
Dass sich zwei Winkelhalbierende eines Dreieck in genau einem Punkt schneiden dürfen Sie voraussetzen.

Lösung von Aufgabe 11.04 WS_12_13

Aufgabe 12.05

Definition

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Parallelogramm
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten.

Beweisen Sie ohne Verwendung weiterer aus der Schule bekannten Eigenschaften von Parallelogrammen:
$\overline{ABCD}$ ist ein Parallelogramm $\Leftrightarrow \overline{AB} \tilde= \overline{CD} \wedge \overline{AD} \tilde= \overline{BC}$.

Aufgabe 12.06

Beweisen Sie: Die Höhen eines Dreiecks (bzw. die Geraden, die durch die Höhen eindeutig bestimmt sind) schneiden einander in genau einem Punkt.
Hilfe: Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck. Von diesem Dreieck wissen Sie bereits, dass sich seine Mittelsenkrechten in genau einem Punkt schneiden. Konstruieren aus $\overline{ABC}$ ein weiteres Dreieck, indem sie die drei Parallelen konstruieren, die sie erhalten, wenn sie die Parallele jeweils durch einen Eckpunkt von $\overline{ABC}$ zur gegenüberliegenden Seite legen.

Aufgabe 12.07

Lisa lässt ihre Schüler Vierecke generieren. Hierzu gibt sie ihnen einen Streifen (n cm breies Pappstück, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind, das Paar von gegenüberliegenden Seiten mit dem Abstand n cm ist blau gekennzeichnet) und Stäbchen. Die Aufgabe lautet: Lege jeweils ein Paar gleichlanger Stäbchen so, dass beide Enden der Stäbchen jeweils auf einer der blauen Seite liegen, so dass Vierecke entstehen. Lege so dass zwar Rechtecke aber keine beliebigen Parallelogramme entstehen.
Benennen und definieren Sie den Viereckstyp, der sich durch diese Tätigkeit ergibt. Die Definition darf nur auf der Grundlage der geschilderten Schülertätigkeit formuliert werden.

Aufgabe 12.08

Sie wissen im Folgenden nicht mehr und nicht weniger über Parallelogramme, als dass diese Vierecke mit zwei Paaren zueinander paralleler Seiten sind und dass die gegenüberliegenden Seiten diese Vierecke kongruent zueinander sind.Rauten sind für Sie Parallelogramme, in denen alle Seiten gleichlang sind.

Es sei $\overline{ABCD}$ ein Parallelogramm mit $|AB|=|CD|=a$ und $|AD|=|BC|=b$ und $a>b$.

Es sei $w_{\alpha}$ die Winkelhalbierende des Winkels $\angle BAD$, $w_{\delta}$ sei die Winkelhalbierende des Winkels $\angle ADC$. Sie dürfen davon ausgehen, dass $w_{\alpha}$ $DC$ im Punkt $C'$ schneidet. Analog schneidet $w_{\delta}$ $AB$ in $B'$.

Beweisen Sie $\overline{AB'C'D}$ ist eine Raute.

Aufgabe 12.09

Es sei $k$ ein Kreis und $\overline{MB}$ ein Radius von $k$. $t$ sei eine Gerade mit $t \perp MB \wedge P \in t$. Beweisen Sie $\not \exist P: P \in t \wedge P \in k$.

Aufgabe 12.10

Ebene Geometrie: Es sei $k$ ein Kreis und $t$ eine Gerade mit $k \cap t =\{B\}$. Beweisen Sie: $MB \perp t$.