Geraden 2012 13

Der Normalenvektor

Definition des Normalenvektors

Sei g eine Gerade. Ein Vektor $\ \vec{n} \$ heisst genau dann Normalenvektor von g, wenn $\ \vec{n}\$ senkrecht zu der Geraden g steht.

Der Punkt A an dem sich ein Normalenvektor mit der Geraden schneidet, wird auch Aufpunkt genannt.

Skizze eines Normalenvektors

Eigenschaften des Normalenvektors

Sei g eine Gerade mit $\ \ g = \vec{s} + \lambda \cdot \vec{r} \$ und $\vec{n}$ der Normalenvektor auf g , mit $s =\begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \end{pmatrix}, \ r =\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix},\ n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}.$

$E1:\ \ \ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0$

$E2:\ \ \ n =\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix}$
$E3:$ Im Raum gibt es unendlich viele Normalenvektoren zu einer Gerade g und einem Aufpunkt A.

Ist in der Ebene von einer Geraden ein Punkt P und ihr Normalenvektor bekannt, so wird diese hierdurch eindeutig beschrieben. Sei $\vec{r}$ ein beliebiger Ortsvektor auf der Geraden g, da der Normalenvektor $\vec{n}$ senkrecht zu der Geraden $\vec{r}$ steht, so steht $\vec{n}$ auch senkrecht zu jedem anderen Vektor $\vec{r}- \vec{a}$ der Geraden g.

Da die beiden Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{r}-\vec{a}$ senkrecht zueinander stehen, muss das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null ergeben:

$\vec{n} \cdot \vec{r}-\vec{a} = 0 <br> \Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{r} - \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{0}<br> \Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r}$

(geometrische Deutung)

Hesseform

(Otto Hesse, deutscher Mathematiker, von 1811-1874)

Die Punktenormalengleichung

Eine Möglichkeit ist es Geraden mit Hilfe von zwei Vektoren darzustellen. Hierfür wir zum einen ein Stützvektor, zum anderen ein Richtungsvektor benötigt.