Lösung von Zusatzaufgabe 12.2P (WS 12 13)

Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke mit Hilfe zweier Punktspiegelungen.


Voraussetzung	Dreieck ABC mit den Innenwinkeln $\alpha ,\beta ,\gamma$
Behauptung	$\left\| \alpha \right\| +\left\| \beta \right\| +\left\| \gamma \right\| = 180$

Beweisschritte	Begründung	Hinweis (Tutorin_Anne)	Änderungsvorschläge
1. Wir konstruieren eine Gerade g, für die gilt g ll $\overline{AB}$ ^ C $\in$ g	Parallelenaxiom, Vor.
2. D(mb,180)(A)=C ^ D(mb,180)(B)=B'	1.), Def. Punktspiegelung, Def. Mittelpunkt
2.1 $B'C \equiv g$	1.),2.)	Warum folgt das aus Schritt 1 und 2?	Man müsste vllt. noch Satz IX.4 erwähnen, sodass gilt AB parallel C'B und laut Parallelenaxiom gibt es nur eine parallele Gerade durch C, heißt B'C muss auf g zu liegen kommen.
3. $\alpha \tilde {=}\alpha '$	Wechselwinkelsatz, 1.),2.),2.1), Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), winkelmaßerhaltend	Das sind zu viele Begründungen, entscheide dich!	Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), 2.1),2.)
4. D(ma,180)(A)=A' ^D(ma,180)(B)=C	1.), Def. Punktspiegelung, Def. Mittelpunkt
5. $\beta \tilde {=} \beta'$	4.),2.1) Wechselwinkelsatz, Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), winkelmaßerhaltend	Das sind zu viele Begründungen, entscheide dich!	Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), 2.1),4.)
6. $\left\| \alpha' \right\| + \left\| \beta' \right\|+ \left\| \gamma \right\|= 180$	4.), 5.),Def. Nebenwinkel, Satz(Nebenwinkel sind supplementär)	Woher weißt du, dass sie alle an einer Geraden liegen?	Die Winkel alpha',beta',gamma' besitzen alle den gleichen Scheitelpunkt, nämlich C. Das ist anzunehmen, da der Winkel alpha mit dem Scheitelpunkt A punktgespiegelt wird und alpha' nun den Scheitelpunkt C hat.(Für B analog). Der Winkel Gamma hat ja schon den Scheitelpunkt C.
7. $\left\| \alpha \right\| + \left\| \beta \right\|+ \left\| \gamma \right\|= 180$	3.),5.),6.)