Drehungen (2012 13)

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Inhaltsverzeichnis

Definitionsmöglichkeiten

Definition 1
Unter einer Drehung D_{Z, \alpha} um den Punkt Z mit dem Drehwinkel \alpha versteht man eine Abbildung \varphi der Ebene \epsilon auf sich, für die gilt:
1. Z ist Fixpunkt bezüglich \varphi
2. \forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)| mit A \in \epsilon und A \not\equiv Z
3. \forall A: \angle AZ \varphi (A) = \alpha mit A \in \epsilon und A \not\equiv Z

Die Definition entstand aus Vorüberlegungen.


Definition 2
Unter der Drehung D_{Z, \alpha} um den Punkt Z mit dem Drehwinkel \alpha versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen S_{a} und S_{b} mit a \cap b = {Z} und  | \alpha | = 2| \angle (a,b)|

Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde:
Kriterium D1: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung D_{Z, \alpha}, wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen S_{a} und S_{b} mit a \cap b = {Z} und  | \alpha | = 2| \angle (a,b)| ist.


Definition 3
Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt.

Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.):
Kriterium D2: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung verschieden von der Identität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt.


--Jessy* 13:48, 12. Dez. 2012 (CET)


Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung D_{Z, \alpha}

Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene  \epsilon und D_{Z, \alpha} eine Drehung der Ebene  \epsilon mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel  \alpha.

Drehungen als Bewegungen

Satz 6.1
Jede Drehung ist eine Bewegung.

Legt man Definition 1 zugrunde so ergibt sich der Beweis direkt aus der Definition \forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)| mit A \in \epsilon und A \not\equiv Z
--Gubbel 20:11, 5. Mai 2013 (CEST)

Sätze zu Drehungen

Satz 6.2
Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel  \alpha ist die NAF zweier Geradenspiegelungen  S_g und  S_h , deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel  \beta gilt:  | \beta | = | \frac{ \alpha}{2}|

Satz 6.3
Die NAF zweier Geradenspiegelungen  S_g und  S_h , deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel  \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)

 \rightarrow aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.

Satz 6.4
Eine Drehung besitzt genau einen Fixpunkt.
Tipp: Beweise den Satz: Die NAF  S_h \circ S_g zweier Geradenspiegelungen  S_g und  S_h für die gilt: g  \cap h={Z} besitzt genau einen Fixpunkt.

Satz 6.5
Jede von der Drehung mit 0°< | \alpha | <360° verschiedene Bewegung besitzt mehr oder weniger als genau einen Fixpunkt.

 \rightarrow aus den Sätzen 6.4 und 6.5 erhält man das Kriterium D2.