Pfeilklassen

Definition

Pfeil $\vec{AB}$
Es seien $A$ und $B$ zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der Pfeil $\vec{AB}$ ist das geordnete Paar $(A,B)$ . $A$ heißt Anfangspunkt des Pfeils $\vec{AB}$ , $B$ heißt Endpunkt des Pfeils $\vec{AB}$ . Jedem Pfeil ist eine Punktmenge zugehörig, Es handelt sich dabei um die Menge der Punkte der Strecke $\overline{AB}$ . Sollte der Anfangspunkt eines Pfeils mit dem Endpunkt dieses Pfeils zusammenfallen spricht man vom Nullpfeil $\vec{o}$ . Zwei Pfeile $\vec{AB}$ und $\vec{CD}$ haben einen Punkt gemeinsam falls ihre Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben.

Definition

P.1 (parallelgleich)
Zwei Pfeile $\vec{AB}$ und $\vec{CD}$ heißen parallelgleich, wenn

$|AB|=|CD|$
$AB \|| CD$
$\vec{AB}$ und $\vec{CD}$ sind gleichorientiert.

Satz

Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.

D.h. $\vec{a}$ ist parallelgleich( $\sim$ ) zu $\vec{b}$ , wenb gilt:
a) Reflexivität: $\vec{a} \sim \vec{a}$
b) Symmetrie: $\vec{a} \sim \vec{b} \Rightarrow \vec{b} \sim \vec{a}$
c) Transitivität: $\vec{a} \sim \vec{b} \wedge \vec{b} \sim \vec{c}\Rightarrow \vec{a} \sim \vec{c}$

Definition

Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse bzgl der Äquivalenzrelation parallelgleich,
d.h, mit der Pfeilklasse $\vec{u}$ bezeichnet man die Menge aller zu dem Pfeil $\vec{u}$ parallelgleicen Pfeile der Ebene bzw. des Raumes:
$\vec{u}=\left\{\vec{x}| \vec{x} \sim \vec{u}\right\}$