Lösung von Aufg. 12.04 SoSe 13

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Aufgabe 12.04

Die Gerade t sei Tangente an den Kreis k (Mittelpunkt M) im Punkt B. Beweisen Sie: t \perp \overline{MB}.

Lösung

Annahme:

t \not \perp \overline{MB}.

Nach der Existenz des Lotes von M auf t muss es jetzt eine Strecke \overline{MA} geben, die das Lot von M auf t ist. Selbstverständlich ist A verschieden von B, da ansonsten t \perp \overline{MB} gelten würde. Weil t Tangente an k ist, kann A nicht zu k gehören.

Fall 1:

A liegt außerhalb von k. Der Abstand von A zu M ist nun größer als der Radius |\overline{MB}|. \overline{MB} liegt jedoch in \overline{MAB} dem rechten Winkel gegenüber und muss demzufolge die längst der Seiten von \overline{MAB} sein.

Fall 2:

A liegt innerhalb von k. Wir tragen auf AB^- die Länge |AB| ab und erhalten auf t den Punkt B^*. Wegen Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \overline{AB\ \tilde= \overline{Ab^*}
und MA \perp t ist MA die Mittelsenkrechte von \overline{BB^*}. Wegen des Mittelsenkrechtenkriteriums muss jetzt \overline{MB} \tilde= \overline{MB^*} sein. Da nun \overline{MB} ein Radius von k ist, muss auch B^* zu k gehören. Damit hätte t zwei verschiedene Punkte mit k gemeinsam, was im Widerspruch dazu steht, dass t Tangente an k ist.

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