Lösung von Aufgabe 10.3

Beweis Versuch 1:

Satz VI.1: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten:
Jede Stecke hat in jeder Ebenen, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Als Voraussetzung ist die Strecke $\overline{AB}$ , die Ebene E zu benennen.
Nun ist zu zeigen, dass es in $E$ eine Gerade $m$ gibt, die die Mittelsenkrechte zur Strecke $\overline{AB}$ ist. Und, dass es nicht mehr als diese eine gibt.

(1) Es gibt ein Punkt $Q$ , der zur Ebene E gehört, aber nicht zur Geraden $AB$ .
(2) Es existiert genau ein Mittelpunkt $M$ auf der Strecke $\overline{AB}$ , nach Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt.
(3) Es existiert ein Punkt $P$ in der Halbebenen $AB,Q^{+}$ und somit ein genau ein Strahl $MP^{+}$ . Der Winkel $\angle PMB$ hat das Maß 90, nach Winkelkonstruktionsaxiom.
(4) Die Gerade $PM$ ist Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$ .