Lösung von Aufgabe 5.4 P (WS 16 17)

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt?

• Parallelität von Geraden der Ebene
• Kongruenz geometrischer Figuren
• Teilbarkeit in $\mathbb{N}$
• Kleinerrelation in $\mathbb{R}$
• Größer-Gleich-Relation in $\mathbb{R}$
• Ungleichheit in $\mathbb{R}$

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Zum Anzeigen die Tabelle ausklappen:

Relation	Reflexiv?	Symmetrisch?	Transitiv?
Parallelität von Geraden in der Ebene	reflexiv Begründung anzeigen Begründung verstecken Jede Gerade ist zu sich selbst parallel	symmetrisch Begründung anzeigen Begründung verstecken $\forall\text{ Geraden }a,b: a\text{ ist parallel zu }b \Rightarrow b\text{ ist parallel zu }a$	transitiv Begründung anzeigen Begründung verstecken $\forall\text{ Geraden }a,b,c: a\text{ ist parallel zu }b \wedge b\text{ ist parallel zu }c \Rightarrow a\text{ ist parallel zu }c$
Kongruenz geometrischer Figuren	reflexiv Begründung anzeigen Begründung verstecken Jede geometrische Figur ist zu sich selbst kongruent.	symmetrisch Begründung anzeigen Begründung verstecken $\forall\text{ Geometrische Figuren }a,b: a\text{ ist kongruent zu }b \Rightarrow b\text{ ist kongruent zu }a$	transitiv Begründung anzeigen Begründung verstecken $\forall\text{ Geometrische Figuren }a,b,c: a\text{ ist kongruent zu }b \wedge b\text{ ist kongruent zu }c \Rightarrow a\text{ ist kongruent zu }c$
Teilbarkeit in $\mathbb{N}$	reflexiv Begründung anzeigen Begründung verstecken $\forall x \in \mathbb{N}: \frac{x}{x} = 1 \Rightarrow x \bmod x = 0$	asymmetrisch Begründung anzeigen Begründung verstecken Gegenbeispiel: $\frac{4}{2} \in \mathbb{N} \nRightarrow \frac{2}{4} \in \mathbb{N}$	transitiv Begründung anzeigen Begründung verstecken $\begin{align} \forall a,b,c \in \mathbb{N}: & \frac{a}{b} \in \mathbb{N} \wedge \frac{b}{c} \in \mathbb{N}\\ \iff & (\exists x\in\mathbb{N}: a=bx) \wedge (\exists y\in\mathbb{N}: b=cy)\\ \implies & \exists x,y\in\mathbb{N}: a=cxy\\ \iff & \exists x,y\in\mathbb{N}: \frac{a}{c} = xy\\ \implies & \frac{a}{c} \in \mathbb{N} \end{align}$
Kleinerrelation in $\mathbb{R}$	irreflexiv Begründung anzeigen Begründung verstecken $\forall a \in \mathbb{R}: a \nless a \iff \neg(a<a)$	asymmetrisch Begründung anzeigen Begründung verstecken $\forall a,b \in \mathbb{R}: a<b \Rightarrow b>a \iff b\nless a \iff \neg(b<a)$	transitiv Begründung anzeigen Begründung verstecken $\forall a,b,c\in\mathbb{R}: a<b \wedge b<c \Rightarrow a<c$
Größer-Gleich-Relation in $\mathbb{R}$	reflexiv Begründung anzeigen Begründung verstecken $\forall a \in \mathbb{R}: a \leq a$	antisymmetrisch Begründung anzeigen Begründung verstecken nicht symmetrisch: Gegenbeispiel $1\leq2\nRightarrow2\leq1$ nicht asymmetrisch, da reflexiv antisymmetrisch: $\forall a,b\in\mathbb{N}: a\leq b \wedge b\leq a \Rightarrow a=b$	transitiv Begründung anzeigen Begründung verstecken $\forall a,b,c \in\mathbb{R}: a\leq b \wedge b\leq c \Rightarrow a\leq c$
Ungleichheit in $\mathbb{R}$	irreflexiv Begründung anzeigen Begründung verstecken $\forall a \in \mathbb{R}: a = a \iff \neg(a\neq a)$	symmetrisch Begründung anzeigen Begründung verstecken $\forall a,b \in \mathbb{R}: a\neq b \Rightarrow b\neq a$	intransitiv Begründung anzeigen Begründung verstecken Gegenbeispiel: $1\neq2\wedge2\neq1 \nRightarrow 1\neq1$

--AlanTu (Diskussion) 18:56, 15. Nov. 2016 (CET)

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