Elementare Funktionen

Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten

Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf

Eingangsgrößen

Abwurfhöhe	$~~~h_0$
Abwurfgeschwindigkeit (Betrag)	$~~~v_0$
Abwurfwinkel	$~~~\alpha$

Herleitung der Vektorgleichung

x-Komponente

Die Bewegung in x-Richtung wird nur durch den entsprechenden Anteil der Anfangsgeschwindigkeit bewirkt:
$v_x=v_0 \cdot \cos \alpha \Rightarrow x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t$

y-Komponente

Es addieren sich:

1. y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: $v_y=v_0 \cdot \sin \alpha \Rightarrow y_w = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t$
2. Fallbewegung nach unten: $y_f=\frac{g}{2}t^2$
3. Damit $y=v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2$
4. Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: $P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}$

Experimentierumgebung

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Experimentieraufgaben

Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe $h_0$ bei $x=18m$ auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche?

Umstrukturierung

Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) $P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}$ eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) $y=ax^2+bx+c$. Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II).

Der Funktionsbegriff

Kreuzprodukt zweier Mengen

Es seien M und N zwei nicht leere Mengen.
Unter dem Kreuzprodukt MxN versteht man die mnge aller geordenten Paare (a,b) mit a aus M und b aus N.

$M \times N := \{(a,b)|a \in M, b \in N\}$
$y=x^2$

Funktionen als spezielle Relationen

Linkstotal

$\forall a\in A : \exists b\in B : (a,b)\in R$

Rechtseindeutig

$\forall a\in A : \forall b_1,b_2\in B : (a,b_1)\in R \wedge (a,b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2$

Lineare Funktionen

nichtproportionale lineare Funktionen

Steigung

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• Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.
• Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Satz: Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte $(x_1, f(x_1))$ und $(x_2, f(x_2))$ wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt.

mehr folgt in Kürze, ich muss erst herausfinden, wie ich die ganzen Herleitungen darstellen kann mit Wiki. Frage: Wie schreibt man Brüche?! Bei mir wird mit "\frac" immer eine Fehlermeldung angezeigt.

Nach \frac braucht man zwei paar geschweifter Klammern (je eins für Zähler und Nenner), dann müsste es funktionieren: $\frac{1}{2 + \sqrt{x+\log_2{y}}} + \sum_{i=1}^{n}{i}$

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Winkelfunktionen

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

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