Serie 2 SoSe 2018

Übungsaufgaben zum 04.05.2018

Implikation, Voraussetzung, Behauptung, Umkehrung, Kontraposition, Widerspruchsbeweis
Hinweis: Für die geometrischen Beweise sind die Dreieckskongruenzsätze mitunter hilfreich. Sie finden sie hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenzsatz

Aufgabe 2.1 SoSe 2018

Ein Blick über den Tellerrand der Geometrie:

Satz S:

$\forall t, a, b \in \mathbb{Z}: t \mid a \land t \mid b \Rightarrow t \mid (a+b)$

a) Formulieren Sie Satz S schultauglich, d.h. weniger formal in einem normalen deutschen Satz.
b) Wie lautet die Voraussetzung in Satz S?
c) Wie lautet die Behauptung von Satz S.
d) Beweisen Sie Satz S.

Aufgabe 2.2 SoSe 2018

a) Bilden Sie sie Umkehrung von Satz S aus Aufgabe 2.1.
b) Begründen Sie: Die Umkehrung von Satz S ist keine wahre Aussage.
c) Formulieren Sie die Kontraposition von Satz S.

Aufgabe 2.3 SoSe 2018

Formulieren Sie den Basiswinkelsatz für Dreiecke in Wenn-Dann-Form und beweisen Sie ihn. Verwenden Sie für den Beweis die Existenz der Winkelhalbierenden eines Winkels und den Kongruenzsatz SWS. Beziehen Sie sich in Ihrem Beweis sinnvollerweise auf eine Skizze.

Aufgabe 2.4 SoSe 2018

Eva formuliert die Umkehrung des Basiswinkelsatzes für Dreiecke wie folgt:

Wenn in einem Dreieck die Basiswinkel kongruent zueinander sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig.

Warum ist Evas Formulierung nicht ganz korrekt?

Aufgabe 2.5 SoSe 2018

Formulieren Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke in Wenn-Dann-Form.

Aufgabe 2.6 SoSe 2018

Wir setzen den Innenwinkelsatz für Dreiecke und den Nebenwinkelsatz als bewiesen voraus.
Satz: (starker Außenwinkelsatz)

Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der Größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.

a) Formulieren Sie den starken Außenwinkelatz in Wenn-Dann-Form.
b) Formulieren Sie die Voraussetzung und die Behauptung des starken Außenwinkelsatzes unter Verwendung der Bezeichnungen in der folgenden Skizze:

c) Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

Aufgabe 2.7 SoSe 2018

a) Formulieren Sie den Satz von Pythagoras allgemein. ($a^2+b^2=c^2$ zählt also nicht als Lösung der Aufgabe.
b) Formulieren Sie die Umkehrung des Satzes von Pythagoras. c) Formulieren Sie die Kontraposition des Satzes von Pythagoras. d) Auch die Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist eine wahre Aussage. Formulieren Sie den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung als Äquivalenz (genau dann, wenn bzw. dann und nur dann bzw. Doppelpfeil.)

Aufgabe 2.8 SoSe 2018

Der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke lautet:
Satz: (Höhensatz)

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe $h_c$ auf die Hypotenuse so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seitenlängen den Hypotenusenabschnitten $q$ und $p$ entsprechen.

Kurz: $h_c^2=q \cdot p$

Beweisen Sie den Höhensatz unter Verwendung des Satzes von Pythagoras.

Aufgabe 2.9 SoSe 2018

Wir setzen ebene Geometrie voraus.
Satz: Tangentenkriterium

Es seien $g$ eine Gerade und $k$ ein Kreis , mit dem Mittelpunkt $M$. Ferner sei $B$ ein Punkt, den die Gerade $g$ mit dem Kreis $k$ gemeinsam hat.

(*) $k \cap g = \{B\} \Leftrightarrow g \perp \overline{MB}$

a) Aussage (*) beinhaltet zwei Aussagen $(\Rightarrow$ und $\Leftarrow )$. Formulieren Sie beide Aussagen so, dass sie auch Schüler einer neunten Klasse Werkrealschule verstehen können.
b) Beweisen Sie die Aussage $\Leftarrow$ mittels eines Widerspruchsbeweises.