Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2018

Aufgabe 2.1 Gegeben sei $DD_\Delta:=\left [ \left \{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right \}, \circ \right ]$. $~$ Bestimmen Sie $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ derart, dass $DD_\Delta$ eine Gruppe ist. Die Operation $\circ$ ist dabei als die normale Matrizenmultiplikation zu verstehen. Hilfe: Öffnen Sie Geogebra. Sie können in Geogebra Matrizen eingeben. Die Matrix $M=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{pmatrix}$ geben Sie z.B. wie folgt ein: $M= \left \{ \left \{ -\frac{1}{2} , -\frac{1}{2} \right \} , \left \{ \frac{1}{2} \sqrt{3} , -\frac{1}{2} \sqrt{3} \right \} \right \}$. Geben Sie jetzt die Koordinaten eines beliebigen Punktes wie etwa $P=(0,1)$ ein. Lassen Sie nun $M * P$ berechnen. Es wird eine Bildpunkt von $P$ berechnet ... . Aufgabe 2.2 Bestimmen Sie die Verknüpfungstafel der Gruppe $\left [ \mathbb{Z}_3, \oplus \right ].$ (Restklassen modulo 3, mit Restklassenadddition). Vergleichen Sie mit der Gruppentafel aus Aufgabe 2.1. Aufgabe 2.3 Es sei $\left [ \left \{ e, a, b \right \}, \circ \right ]$ eine Gruppe mit dem Einselement $e$. Beweisen Sie $a$ muss das Inverse von $b$ und $b$ muss das Inverse von $a$ sein. Was haben Sie mit diesem Beweis gleichzeitig bewiesen? Aufgabe 2.4 Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleicheit gibt es zwei und nur zwei verschiedene vierelementige Gruppen. Aufgabe 2.5 Es sei $[ G, \circ]$ eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn $b\in G$ das Rechtsinverse zu $a \in G$ ist, dann ist $b$ auch das Linksinverse von $a$ bzgl. $\circ$. Aufgabe 2.6 Es sei $[ G, \circ]$ eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn $e \in G$ das Linkseinselement von $[ G, \circ]$ ist, dann ist $e$ auch das Rechtseinselement von $[ G, \circ]$. Aufgabe 2.7 beweisen Sie die Eindeutigkeit des Einselementes für Gruppen.