Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 3 SoSe 2018

Aufgabe 3.1 Es seien $\overline{a}$ und $\overline{b}$ zwei Restklassen bzgl. des selben Moduls $n$. Beweisen Sie die Repräsentantenunabhängigkeit Restklassenaddition: $\forall a_1, a_2 \in \overline{a} \land b_1, b_2 \in \overline{b}: \overline{a_1+b_1}=\overline{a_2+b_2}$. Aufgabe 3.2 Auf der Menge aller Brüche $\mathbb{B}$ definieren wir deine Relation quotientengleich $=_Q$: $\forall \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{B}: \frac{a}{b} =_Q \frac{c}{d} :\Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c.$ Zeigen Sie, dass $=_Q$ eine Äquivalenzrelation ist. Aufgabe 3.3 Die Relation quotientengleich $=_Q$ ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Brüche und zieht damit eine Klasseneinteilung nach sich. Die Menge aller Äquivalenzklassen nach $=_Q$ ist die Menge der gebrochenen Zahlen $\mathbb{Q}^+$. Eine gebrochene Zahl $\overline{\frac{a}{b}}$ ist damit eine Äquivalenzklasse nach der Relation $=_Q$, d.h. der Bruch $\frac{e}{f}$ gehört genau dann zu $\overline{\frac{a}{b}}$, wenn $\frac{e}{f}=_Q\frac{a}{b}$ gilt. Beweisen Sie die Repräsentantenunabhängigkeit der Multiplikation gebrochener Zahlen. Aufgabe 3.4 Aufgabe 3.5 Aufgabe 3.6 Aufgabe 3.7 Aufgabe 3.8 Aufgabe 3.9 Aufgabe 3.10