Aufgabe 4.1
Wir betrachten auf der Menge der natürlichen Zahlen, die Relationen Teiler und echter Teiler.
(a) Eine dieser Relationen ist keine Äquivalenzrelationen. Welche? Beweisen Sie Ihre Aussage.
(b) Beweisen Sie für die andere Relation, dass sie eine Äquivalanzrelation ist.
Aufgabe 4.2
Die Gleichung ist eine Linearkombination der Gleichung , wenn eine Zahl derart existiert,
dass
gilt.
(a) Beweisen Sie: Die Relation Gleichung b ist Linearkombination von Gleichung a ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Gleichungen vom Typ .
(b) Interpretieren Sie die Relation geometrisch.
Aufgabe 4.3
Es sei die Menge aller Gleichungen vom Typ . sei die Menge aller Äquivalenzklassen , in die durch die Äquivalenzrelation Gleichung a ist Linearkombination von Gleichung b eingeteilt wird. Wir definieren auf die folgende Operation : . Beweisen Sie: ist Gruppe.
Aufgabe 4.4
Es sei die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Zahl . Wir definieren . Auf definieren wir die folgende Relation quotientengleich : . Beweisen Sie ist eine Äquivalenzrelation.
Aufgabe 4.5
Es sei die Menge aller Äquivalenzklassen in die durch eingeteilt wird. Wir definieren . Beweisen Sie: ist abelsche Gruppe.
Aufgabe 4.6
Beweisen Sie: Die multiplikative Restklassengruppe modulo ist zyklisch. Nennen Sie alle erzeugenden Elemente dieser Gruppe.
Aufgabe 4.7
Aufgabe 4.8
Aufgabe 4.9
Aufgabe 4.10
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