Aufgabe 6.01
In einer Übung definierte eine Kommilitonin den Begriff Halbgerade wie folgt:
![AB^+:=\overline{AB}\cup\left\{P|P\in AB \wedge |AP|> |BP|\right\}](/images/math/5/0/5/505f3a150bf7814d9d5700312f4c03f2.png)
In der Vorlesung wurde wie folgt definiert:
Beweisen Sie:
- Definition V
Definition Ü
- Definition Ü
Definition V
Lösung 1
Behauptung: Def V <=> Def Ü
zz. P Element von AB, d.h. P muss zwischen den Punkten A und B liegen
Strecke AB ist größer als Strecke AP
Kommentar --*m.g.* (Diskussion) 16:32, 10. Jun. 2018 (CEST)
Hier ist Luft nach oben.
Natürlich können wir beide Implikationen zusammenfassen zu einer Äquivalenz. Def Ü genau dann, wenn Def V.
Dazu sind zwei Beweise zu führen.
Beweis 1
Wenn ein Punkt des Strahls nach Def Ü ist dann ist er auch ein Punkt des Strahls nach Def V.
Sei ein Punkt von nach Def Ü.
Voraussetzung
In diesem Fall gilt:
Entweder ist ein Punkt der Strecke oder es gilt und .
Anders ausgedrückt:
Fall 1
Fall 2
Behauptung
ist auch ein Punkt von nach Definition V, d.h.
Fall a
gehört zur Strecke
Fall b
Der Beweis
Wenn Fall 1 eintritt folgt Fall a.
Es bleibt zu zeigen:
![P \in AB \land \vert AP\vert > \vert BP\vert \Rightarrow \operatorname{Zw}(A,B,P)](/images/math/a/c/9/ac95d8b5fc197ca1a95c0f1321547909.png)
Ferner dürfen wir für diesen Beweis voraussetzen, dass , denn Fall 1 wurde schon abgearbeitet.
Von drei paarweise verschiedenen Punkten liegt genau einer zwischen den beiden anderen (in der Vorlesung bewiesen).
Prinzipiell könnte also gelten:
kann nicht eintreten, denn das wäre Fall 1 und der ist schon abgearbeitet. ... den Rest können Sie alleine.
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